Simplifying a Mathematical Expression Involving Roots
Claro, vamos a resolver la expresión paso a paso.
Primero, abordemos la parte izquierda de la ecuación:
\[
\sqrt[3]{\frac{3^4}{2^2}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{64}} = \sqrt[3]{\frac{81}{4}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{4^3}}
\]
Como \(3^4 = 81\) y \(2^2 = 4\), la primera raíz cúbica se simplifica a \(\sqrt[3]{\frac{81}{4}}\). Además, como \(64 = 4^3\), la segunda expresión se simplifica a \(\sqrt[3]{4}\):
\[
\sqrt[3]{\frac{81}{4}} \cdot \sqrt[3]{4} = \frac{\sqrt[3]{81}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{81} = 3^{4/3} = 3^{1\frac{1}{3}} = 3 \cdot 3^{1/3}
\]
Ahora, abordemos la parte derecha de la ecuación:
\[
\sqrt{2^2 + 6} = \sqrt{4 + 6} = \sqrt{10}
\]
Ahora, sumamos las dos partes para obtener la expresión completa:
\[
3 \cdot 3^{1/3} + \sqrt{10}
\]
Y esta es la forma simplificada de la expresión original. No se puede simplificar más sin conocer el valor decimal de las raíces.
