Example Question - real solutions
Here are examples of questions we've helped users solve.
Solving a Quadratic Equation
<p>We have the quadratic equation \(2x^2 - 4x - 6 = 0\).</p> <p>To solve for \(x\), we can use the quadratic formula: \(x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a}\), where \(a = 2\), \(b = -4\), and \(c = -6\).</p> <p>First, calculate the discriminant (\(b^2 - 4ac\)): \((-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 16 + 48 = 64\).</p> <p>Since the discriminant is positive, there are two real solutions.</p> <p>Now compute the two solutions using the quadratic formula:</p> <p>\(x = \frac{{-(-4) \pm \sqrt{64}}}{2 \cdot 2} = \frac{{4 \pm 8}}{4}\).</p> <p>So, the two solutions are:</p> <p>\(x = \frac{{4 + 8}}{4} = \frac{{12}}{4} = 3\)</p> <p>and</p> <p>\(x = \frac{{4 - 8}}{4} = \frac{{-4}}{4} = -1\).</p> <p>Thus, the solutions to the equation \(2x^2 - 4x - 6 = 0\) are \(x = 3\) and \(x = -1\).</p>
Interpretation of a Quadratic Equation with Multiple x² Values
La imagen muestra una ecuación matemática, la cual es: \[ y^{2} = x^{2} *\{-1, 3\} \] Esto indica que tenemos un conjunto con dos elementos al lado derecho de la ecuación: -1 y 3. Para resolver esta ecuación, hay que tomar en cuenta que vamos a trabajar con dos posibles valores para x², -1 y 3, y calcular los posibles valores de y² para cada uno de ellos. Primero, tomaremos x² = -1: \[ y^{2} = (-1) \] Sin embargo, aquí nos encontramos con un problema conceptual y matemático, ya que en los números reales, el cuadrado de un número jamás será negativo, porque tanto el cuadrado de un número positivo como de un número negativo siempre resulta en un número no negativo. Es decir, y² siempre será mayor o igual a cero en el conjunto de los números reales, por lo que no hay un número real cuyo cuadrado sea -1. Si estuviésemos trabajando con números complejos, podría decirse que \( y = i \) o \( y = -i \) donde \( i \) es la unidad imaginaria, que satisface \( i² = -1 \), pero en este caso no vamos a considerar soluciones complejas. Ahora tomaremos x² = 3: \[ y^{2} = 3 \] Aquí sí es posible encontrar valores reales para y, ya que buscamos dos números cuyos cuadrados sean 3. Estos números son \( \sqrt{3} \) y \( -\sqrt{3} \). Entonces, resumiendo, tenemos que: - Para x² = -1, no hay solución en los números reales. - Para x² = 3, las soluciones para y son \( y = \sqrt{3} \) y \( y = -\sqrt{3} \). Estos son los valores posibles de y con base en la ecuación presentada y el conjunto de valores para x² dado.
Solving Quadratic Equations with Formula
Claro, resolveremos la ecuación cuadrática que aparece en la imagen, que es \(2x^2 + 5x + 3 = 0\). Para resolver esta ecuación, podemos utilizar la fórmula cuadrática: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] Donde \(a\), \(b\), y \(c\) son los coeficientes de los términos cuadráticos, lineales e independientes, respectivamente, de nuestra ecuación. En nuestra ecuación, \(a = 2\), \(b = 5\), y \(c = 3\). Primero calculamos el discriminante (\(b^2 - 4ac\)): \[\begin{align*} b^2 - 4ac &= 5^2 - 4(2)(3) \\ &= 25 - 24 \\ &= 1 \end{align*}\] Como el discriminante es positivo, habrá dos soluciones reales y distintas. Ahora utilizamos la fórmula cuadrática para encontrar los valores de \(x\): \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(2)} = \frac{-5 \pm 1}{4} \] Ahora calculamos los dos valores posibles para \(x\): 1) Tomando el signo positivo: \[ x = \frac{-5 + 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \] 2) Tomando el signo negativo: \[ x = \frac{-5 - 1}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} = -1.5 \] Entonces, las dos soluciones para la ecuación cuadrática son \(x = -1\) y \(x = -1.5\).
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