Example Question - rationalizing denominators
Here are examples of questions we've helped users solve.
Simplifying Square Root Expressions and Rationalizing the Denominator
<p>Để giải bài toán này, chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách đơn giản hóa từng biểu thức A và B.</p> <p>Đối với biểu thức A:</p> <p>\[A = \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} - \sqrt{5}\]</p> <p>\[A = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2} - \sqrt{5}\]</p> <p>\[A = \sqrt{(\sqrt{5} - 2)^2} - \sqrt{5}\]</p> <p>\[A = \sqrt{5} - 2 - \sqrt{5}\]</p> <p>\[A = -2\]</p> <p>Đối với biểu thức B:</p> <p>\[B = \frac{x - \sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1}\]</p> <p>\[B = \frac{x}{\sqrt{x}} - 1 + \frac{(x - 1)(\sqrt{x} + 1)}{x - 1}\]</p> <p>\[B = \sqrt{x} - 1 + \sqrt{x} + 1\]</p> <p>\[B = 2\sqrt{x}\]</p> <p>Khi đó, ta có hệ phương trình:</p> <p>\[\begin{cases} A = -2 \\ B = 2\sqrt{x} \end{cases}\]</p> <p>Từ phương trình B, ta có:</p> <p>\[2\sqrt{x} = -2\]</p> <p>\[\sqrt{x} = -1\]</p> <p>Phương trình này không có nghiệm thực vì căn bậc hai của một số thực không thể là số âm.</p> <p>Do đó, không có giá trị nào của x thỏa mãn cả hai biểu thức A và B đồng thời bằng 0.</p>
Rationalizing Denominators of Square Roots
To solve the given expression, we can use the technique of rationalizing the denominator. The expression given is: \[ \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} \] We will multiply both the numerator and denominator by the conjugate of the denominator to eliminate the square roots in the denominator. The conjugate of \(\sqrt{2} - \sqrt{3}\) is \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\). Here's how it is done: \[ \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2}{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} \] Expanding the numerator and simplifying the denominator: \[ \frac{2 + 2\sqrt{2}\sqrt{3} + 3}{2 - 3} = \frac{5 + 2\sqrt{6}}{-1} \] Simplifying further: \[ \frac{5 + 2\sqrt{6}}{-1} = -5 - 2\sqrt{6} \] The final simplified result is: \[ -5 - 2\sqrt{6} \]
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com