Example Question - quarter circle area
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Calculating Areas of Colored Figures
La consigna pide calcular el área de la parte coloreada de cada figura. Para la primera figura (izquierda), que es un círculo dividido en ocho partes iguales, donde cuatro de ellas están coloreadas, podemos calcular primero el área del círculo completo y luego tomar la mitad de esa área, ya que están coloreadas justo la mitad de las partes del círculo. El área \( A \) de un círculo se calcula con la fórmula: \[ A = \pi r^2 \] donde \( r \) es el radio del círculo. El radio del círculo es de 6 cm. Por lo tanto, el área total del círculo es: \[ A = \pi (6\,\text{cm})^2 = 36\pi\,\text{cm}^2 \] Entonces, el área de la parte coloreada es la mitad del área total: \[ \text{Área coloreada} = \frac{36\pi\,\text{cm}^2}{2} = 18\pi\,\text{cm}^2 \] Para la segunda figura (derecha), que es un cuadrante de un círculo (una cuarta parte de un círculo), el radio también es de 10 cm. El área total del círculo sería: \[ A = \pi (10\,\text{cm})^2 = 100\pi\,\text{cm}^2 \] Dado que tenemos un cuadrante (1/4 del círculo), el área del cuadrante es: \[ \text{Área del cuadrante} = \frac{100\pi\,\text{cm}^2}{4} = 25\pi\,\text{cm}^2 \] Ahora bien, este cuadrante está dividido en dos secciones por un cuarto de círculo más pequeño (cuyo radio sería la mitad del radio grande, es decir, 5 cm). Necesitamos calcular el área de este cuarto de círculo más pequeño y luego restarla del área del cuadrante grande para obtener el área coloreada. El área del cuarto de círculo más pequeño es: \[ A_{\text{pequeño}} = \frac{\pi (5\,\text{cm})^2}{4} = \frac{25\pi\,\text{cm}^2}{4} = 6.25\pi\,\text{cm}^2 \] Finalmente, restamos esta área de la del cuadrante grande para obtener el área coloreada de la segunda figura: \[ \text{Área coloreada} = 25\pi\,\text{cm}^2 - 6.25\pi\,\text{cm}^2 = 18.75\pi\,\text{cm}^2 \] Así que las áreas coloreadas son \( 18\pi\,\text{cm}^2 \) para la primera figura y \( 18.75\pi\,\text{cm}^2 \) para la segunda figura.
Calculating the Area of Colored Figures
Para resolver este problema, primero debemos calcular el área de las dos figuras y luego identificar la parte coloreada de cada una. Para la primera figura, que es un círculo dividido en ocho sectores iguales, y necesitamos encontrar el área de uno de esos sectores (la parte coloreada). El radio del círculo es la mitad del diámetro, es decir, 6 cm / 2 = 3 cm. La fórmula para calcular el área del círculo completo es \( \pi \times r^2 \), dónde \( r \) es el radio. Luego, dividimos esa área por 8 para obtener la de un sector: Área total del círculo = \( \pi \times r^2 = \pi \times 3^2 = 9\pi \) cm² Área de un sector = \( \frac{9\pi}{8} \) cm² Para la segunda figura, que parece ser un cuarto de círculo, calculamos primero el área del círculo completo utilizando el radio (10 cm), y luego tomamos un cuarto de esa área. Pero dentro del cuarto de círculo hay una porción no coloreada que corresponde a un cuadrado que debemos sustraer. Área total del círculo del cual proviene el cuarto = \( \pi \times r^2 = \pi \times 10^2 = 100\pi \) cm² Área del cuarto de círculo = \( \frac{100\pi}{4} = 25\pi \) cm² Ahora, calculamos el área del cuadrado no coloreado usando el lado del cuadrado, que es igual al radio del cuarto de círculo: Área del cuadrado = lado² = 10 cm × 10 cm = 100 cm² Finalmente, el área coloreada del cuarto de círculo es: Área coloreada de la segunda figura = Área del cuarto de círculo - Área del cuadrado = \( 25\pi \) cm² - 100 cm² Sumamos las áreas coloreadas de ambas figuras para obtener el área total coloreada: Área total coloreada = Área de un sector de la primera figura + Área coloreada de la segunda figura Área total coloreada = \( \frac{9\pi}{8} \) cm² + ( \( 25\pi \) cm² - 100 cm² ) Simplificando y sumando las dos áreas obtenemos la respuesta final. No nos olvidemos de utilizar aproximaciones de π si es necesario (por ejemplo, 3.14159 o la aproximación que se prefiera).
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