Example Question - product of numbers
Here are examples of questions we've helped users solve.
Solving a Mathematical Problem with Given Conditions
Para resolver el problema que se presenta en la imagen, debemos utilizar la información que se nos da: Un número positivo es 3/5 del otro número y el otro producto de ambos números es 2160. Establezcamos dos variables, x e y, para representar a los dos números. Según la descripción, podemos formular las siguientes ecuaciones: 1. \(x = \frac{3}{5}y\) (dado que un número es 3/5 del otro) 2. \(xy = 2160\) (dado que el producto de ambos números es 2160) A continuación, reemplazaremos x de la primera ecuación en la segunda para poder resolver para y. Si \(x = \frac{3}{5}y\), entonces sustituimos en la segunda ecuación: \(\frac{3}{5}y \cdot y = 2160\) Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 5/3 para despejar y^2: \(y^2 = \frac{2160 \cdot 5}{3}\) \(y^2 = 2160 \cdot \frac{5}{3}\) \(y^2 = 720 \cdot 5\) \(y^2 = 3600\) Ahora, tomamos la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación para resolver para y: \(y = \sqrt{3600}\) \(y = 60\) Ahora que tenemos el valor de y, podemos encontrar el valor de x utilizando la primera ecuación: \(x = \frac{3}{5} \cdot 60\) \(x = 3 \cdot 12\) \(x = 36\) Entonces, los dos números son 36 y 60. Estos son los dos números positivos que cumplen con las condiciones dadas: uno es 3/5 del otro, y su producto es 2160.
Rules for Parity of Numbers and Products
Um die Aufgabe zu lösen, analysieren wir jede der Behauptungen einzeln und überprüfen, ob diese wahr oder falsch sind. Wir geben dabei Beweise oder Gegenbeispiele. a. Die Summe von zwei geraden Zahlen ist immer gerade. Dies ist wahr. Gerade Zahlen können als 2k und 2m dargestellt werden, wobei k und m ganze Zahlen sind. Die Summe ist dann 2k + 2m = 2(k + m), was wiederum eine gerade Zahl ist, da sie durch 2 teilbar ist. b. Die Summe von zwei ungeraden Zahlen ist immer gerade. Dies ist auch wahr. Ungerade Zahlen können als 2k + 1 und 2m + 1 geschrieben werden, wobei k und m ganze Zahlen sind. Die Summe ist dann (2k + 1) + (2m + 1) = 2k + 2m + 2 = 2(k + m + 1), was wieder eine gerade Zahl ist. c. Die Summe von einer geraden und einer ungeraden Zahl ist immer ungerade. Wiederum wahr. Die gerade Zahl sei 2k und die ungerade Zahl 2m + 1. Die Summe ist 2k + (2m + 1) = 2(k + m) + 1, was eine ungerade Zahl ist, da sie nicht ohne Rest durch 2 teilbar ist. d. Die Differenz von zwei geraden Zahlen ist immer gerade. Das stimmt. Nimmt man zwei gerade Zahlen 2k und 2m, ist die Differenz 2k - 2m = 2(k - m), was durch 2 teilbar ist und somit eine gerade Zahl. e. Das Produkt von zwei geraden Zahlen ist immer gerade. Das ist richtig. Seien 2k und 2m zwei gerade Zahlen, dann ist das Produkt 2k * 2m = 4km = 2(2km), was wiederum eine gerade Zahl ist. f. Das Produkt von zwei ungeraden Zahlen ist immer ungerade. Auch dies ist eine wahre Aussage. Seien (2k + 1) und (2m + 1) zwei ungerade Zahlen, dann ist das Produkt (2k + 1)(2m + 1) = 4km + 2k + 2m + 1 = 2(2km + k + m) + 1, und der Ausdruck ist ungerade, da er die Form 2n + 1 hat. g. Das Produkt einer geraden Zahl mit einer beliebigen (natürlichen) Zahl ist immer gerade. Das ist korrekt, denn wenn die Zahl 2k (gerade) mit einer beliebigen Zahl m multipliziert wird, ist das Ergebnis 2km, was durch 2 teilbar ist. h. Beweise oder widerlege: Welche Regeln gelten für 3/4/5/... Summanden/Faktoren? Wähle eine geeignete Regel aus? Bei mehreren Summanden oder Faktoren gelten ähnliche Regeln. Zum Beispiel, wenn alle Summanden gerade oder ungerade sind, bleibt die Parität der Summe (gerade/ungerade) entsprechend obiger Regeln erhalten. Bei Produkten, wenn mindestens ein Faktor gerade ist, ist das Produkt immer gerade. Ungerade Produkte resultieren nur, wenn alle Faktoren ungerade sind. Für einen vollständigen Beweis müsste man die genaue Regel auswählen, die man beweisen möchte, und dann die entsprechenden algebraischen Manipulationen oder Gegenbeispiele für die jeweilige Situation angeben.
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