Example Question - number of cubes formula
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Correct Formula for Calculating Number of Cubes in Walls
Das gezeigte Problem beschäftigt sich mit der Anzahl der Würfel in Mauern unterschiedlicher Länge. Milena und Kevin haben unterschiedliche Formeln aufgestellt, um die Anzahl der Würfel zu berechnen: Milena verwendet die Formel \(2n + 1\) (wobei \(n\) die Anzahl der Würfel auf der Bodenschicht ist), und Kevin verwendet \(3n + 1\). Teil A) fragt, welcher der beiden Recht hat. Wenn wir die Struktur der Mauern analysieren, erkennen wir, dass jede Bodenschicht mit einem zusätzlichen Würfel oben drauf endet. Daher hat jede Mauer einen Würfel oben mehr als die Anzahl der Würfel in der untersten Schicht. Wenn \(n\) die Anzahl der Würfel in der untersten Schicht ist, dann ist die Gesamtanzahl der Würfel tatsächlich \(2n + 1\) (n für die Basis und n für die Mittelschicht, plus 1 zusätzlicher Würfel oben). Teil B) fragt, ob beide Terme für beliebig lange Mauern die richtige Anzahl Würfel liefern. Um diese Frage zu beantworten: Nein, nur Milenas Formel (\(2n + 1\)) liefert die korrekte Anzahl der Würfel für jede beliebige Länge der Mauer. Kevins Formel (\(3n + 1\)) wäre nur dann korrekt, wenn jede Schicht der Mauer aus drei Lagen bestehen würde, was jedoch nicht der Fall ist. Die Begründung lautet, dass man durch direktes Betrachten der Mauern sehen kann, dass auf jeder extra Schicht auf der untersten Ebene zwei zusätzliche Würfel hinzukommen – einen in der Mitte und einen oben. Daher ist die Gesamtzahl der Würfel immer das Doppelte der Anzahl der Würfel in der untersten Schicht plus ein weiterer Würfel für die Spitze, was Milenas Formel bestätigt.
Calculation of Wall Blocks with Given Formulas
Um die Frage zu lösen, schauen wir uns zuerst die gegebenen Formeln für die Anzahl der Würfel an, die Milena und Kevin für ihre Mauern benutzen: Milena: \( 2 \times n + (n + 1) \) Kevin: \( 3 \times n + 1 \) Hierbei steht "n" für die Anzahl der horizontal sichtbaren Würfel an der Spitze jeder Mauer. **Teil A: Wer hat wie viele überlegt?** Betrachten wir zunächst die Mauern aus der Grafik. Man sieht, dass bei Milenas Mauer, "n" 3 ist (weil 3 Würfel an der Spitze sichtbar sind) und bei Kevins Mauer, "n" 2 ist (weil 2 Würfel an der Spitze sichtbar sind). Setzen wir diese Werte in die jeweiligen Formeln ein: Für Milena: \( 2 \times 3 + (3 + 1) = 6 + 4 = 10 \) Würfel Für Kevin: \( 3 \times 2 + 1 = 6 + 1 = 7 \) Würfel Milena hat also 10 Würfel überlegt und Kevin 7 Würfel. **Teil B: Liefern beide Terme für beliebig lange Mauern die richtige Anzahl Würfel?** Die Formeln, die gegeben sind, geben uns die allgemeine Regel, um die Anzahl der Würfel zu berechnen, basierend auf der Anzahl der Würfel an der Spitze der jeweiligen Mauer ("n"). Die Formel für Milena berücksichtigt, dass für jeden zusätzlichen Würfel an der Spitze zwei weitere zu jeder Seite hinzugefügt werden müssen (daher das "2 \times n"), und einen zusätzlichen Würfel für die darauffolgende Ebene ("n + 1"). Für Kevin wird für jeden Würfel an der Spitze dreimal ein Würfel nach unten platziert ("3 \times n"), und es wird immer ein zusätzlicher Würfel hinzugefügt (daher das "+ 1"). Ja, beide Terme liefern für beliebig lange Mauern die richtige Anzahl an Würfeln, solange "n" korrekt gewählt wird. Wir begründen dies, indem wir zeigen, dass die Anzahl der Würfel linear mit der Länge "n" an der Spitze der Mauer wächst. Da es für jede Einheit der Länge ein festes Wachstumsmuster gibt (bei Milena 2 Würfel an den Seiten plus einen oben, bei Kevin 3 Würfel vertikal und einen am Ende der Mauer hinzu), werden beide Formeln für eine beliebige Länge "n" die richtige Anzahl an Würfeln liefern.
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