Example Question - multiplication of polynomials
Here are examples of questions we've helped users solve.
Multiplication of Polynomials
Vấn đề của bạn là thực hiện phép nhân của hai đa thức. Đa thức đầu tiên là \(f(x) = 2x^2 - x +4\), và đa thức thứ hai là \(P(x) = x^3 - x^2 + 8x - 1\). Để nhân hai đa thức này, bạn sử dụng phương pháp phân phối, tức là nhân mỗi số hạng của đa thức thứ nhất với mỗi số hạng của đa thức thứ hai. Bắt đầu với số hạng đầu tiên của \(f(x)\), \(2x^2\), nhân nó lần lượt với mỗi số hạng của \(P(x)\): \(2x^2 \cdot x^3 = 2x^5\), \(2x^2 \cdot (-x^2) = -2x^4\), \(2x^2 \cdot 8x = 16x^3\), \(2x^2 \cdot (-1) = -2x^2\). Tiếp theo, nhân số hạng thứ hai của \(f(x)\), \(-x\), với \(P(x)\): \(-x \cdot x^3 = -x^4\), \(-x \cdot (-x^2) = x^3\), \(-x \cdot 8x = -8x^2\), \(-x \cdot (-1) = x\). Cuối cùng, nhân số hạng cuối cùng của \(f(x)\), \(+4\), với \(P(x)\): \(4 \cdot x^3 = 4x^3\), \(4 \cdot (-x^2) = -4x^2\), \(4 \cdot 8x = 32x\), \(4 \cdot (-1) = -4\). Bây giờ ta cộng tất cả các kết quả với nhau: \(2x^5 - 2x^4 + 16x^3 - 2x^2 - x^4 + x^3 - 8x^2 + x + 4x^3 - 4x^2 + 32x - 4\). Tổng hợp các số hạng giống nhau, ta được kết quả cuối cùng: \(2x^5 - 3x^4 + 21x^3 - 14x^2 + 33x - 4\). Vậy kết quả của phép nhân \(f(x) \cdot P(x)\) là \(2x^5 - 3x^4 + 21x^3 - 14x^2 + 33x - 4\).
Expanding and Analyzing (1 - (2/a)x)(a+x)^5
The question is asking us to show that in the expansion of \((1 - \frac{2}{a}x)(a+x)^5\), where \(a\) is a non-zero constant, the coefficient of \(x^2\) is zero. To find the coefficient of \(x^2\), we need to consider how terms which multiply together to give an \(x^2\) term could arise in the expansion. We can expand \((a+x)^5\) using the binomial theorem and then multiply the result by \((1 - \frac{2}{a}x)\). We're only interested in terms that give \(x^2\) after this multiplication, so we can ignore higher powers of \(x\). The binomial expansion of \((a + x)^5\) is given by: \((a + x)^5 = a^5 + 5a^4x + 10a^3x^2 + 10a^2x^3 + 5ax^4 + x^5\) We are interested in the terms up to \(x^2\) since multiplying by \(x^3\) or higher from the linear term outside will exceed \(x^2\). When we multiply \((1 - \frac{2}{a}x)\) by the \(a^5\), \(5a^4x\), and \(10a^3x^2\) terms, we'll get coefficients for \(x^0\), \(x^1\), and \(x^2\), respectively. Terms resulting from \(10a^2x^3\) and beyond multiplied by \(1\) would be of a higher power than \(x^2\), and are therefore irrelevant. So we focus on the following: \((1 - \frac{2}{a}x)(a^5 + 5a^4x + 10a^3x^2)\) Expanding the relevant terms: \(a^5(1 - \frac{2}{a}x) = a^5 - 2a^4x\) \(5a^4x(1 - \frac{2}{a}x) = 5a^4x - 10a^3x^2\) \(10a^3x^2(1 - \frac{2}{a}x) = 10a^3x^2 - 20a^2x^3\) Now we can add up the coefficients of \(x^2\) from these products: From \(a^5(1 - \frac{2}{a}x)\), we do not have an \(x^2\) term. From \(5a^4x(1 - \frac{2}{a}x)\), the coefficient of \(x^2\) is \(-10a^3\). From \(10a^3x^2(1 - \frac{2}{a}x)\), the coefficient of \(x^2\) is \(10a^3\). If we sum the coefficients for \(x^2\) from these two terms, we get: \(-10a^3 + 10a^3 = 0\) Hence, the coefficient of \(x^2\) in the expansion of \((1 - \frac{2}{a}x)(a+x)^5\) is zero, as required to be shown.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com