Example Question - milena and kevin formulas
Here are examples of questions we've helped users solve.
Counting Cubes in Different Structures
In dem Bild werden Würfelstrukturen gezeigt, sowie Formeln von zwei Personen, Milena und Kevin, die unterschiedliche Methoden haben, um die Anzahl der Würfel in den Strukturen zu zählen. Milena zählt die Würfel mit der Formel \(2 + k\), wobei \(k\) die Anzahl der Sichtbaren Seitenflächen (also nicht die Unterseite) auf der obersten Reihe von Würfeln ist. Kevin hingegen verwendet die Formel \(3 \cdot n - 1\), wobei \(n\) die Anzahl der Würfel in der obersten Reihe ist. Um die Anzahl der Würfel für eine beliebige Mauer zu berechnen, können wir beide Formeln verwenden. Aber zuerst müssen wir die Bedeutungen der Variablen in den Formeln verstehen. Betrachten wir zum Beispiel Mauer A. In der obersten Reihe gibt es vier Würfel, und die Anzahl der sichtbaren Seitenflächen auf diesen Würfeln ist acht. Verwenden wir Milenas Formel für Mauer A: \(k = 8\) Anzahl der Würfel = \(2 + k = 2 + 8 = 10\) Verwenden wir Kevins Formel für Mauer A: \(n = 4\) Anzahl der Würfel = \(3 \cdot n - 1 = 3 \cdot 4 - 1 = 12 - 1 = 11\) Es scheint, dass die Formeln unterschiedliche Ergebnisse liefern. Das liegt daran, dass die Formeln tatsächlich für verschiedene Strukturen von Mauern gedacht sind. Milenas Formel funktioniert für Mauern, bei denen genau zwei Würfel auf der Grundfläche stehen, unabhängig von der Anzahl der sichtbaren Seitenflächen auf der Oberseite. Kevin hingegen betrachtet Mauern, bei denen die Würfel (abgesehen vom ebenen Boden) nur einzelne Würfel sind, die in einer Reihe stehen. Für Mauer B von dem Bild gilt: \(k = 7\) Anzahl der Würfel nach Milena = \(2 + k = 2 + 7 = 9\) \(n = 3\) Anzahl der Würfel nach Kevin = \(3 \cdot n - 1 = 3 \cdot 3 - 1 = 9 - 1 = 8\) Da Mauer A drei Würfel auf der Grundfläche hat und Mauer B zwei, passt Milenas Formel besser für Mauer B. Für Mauer D gilt Kevins Formel besser, da sie einfache, in einer Reihe stehende Würfel zeigt: \(k\) ist nicht anwendbar, weil es nicht der Ansatz von Milena ist. \(n = 5\) Anzahl der Würfel = \(3 \cdot n - 1 = 3 \cdot 5 - 1 = 15 - 1 = 14\) Somit beantwortet Kevin mit seiner Formel die Frage für Mauern, die wie Mauer D aufgebaut sind, und Milena für Mauern, die wie Mauer B aufgebaut sind, jedoch muss bei Milenas Herangehensweise die Anzahl der Würfel auf der Grundfläche zwei betragen.
Analysis of Formulas for Calculating Cubes in Different Wall Structures
In diesem Bild sehen wir zwei verschiedene Formen von Mauern, die aus Würfeln gebaut wurden. Milena und Kevin haben Formeln aufgestellt, um die Anzahl der Würfel in Abhängigkeit von der Anzahl der sichtbaren Würfelseiten (k) zu berechnen. Milena's Formel lautet \(2 \cdot k + (k - 1)\). Kevin's Formel lautet \(3 \cdot k - 1\). Die Fragen beziehen sich auf die Richtigkeit dieser Formeln und wer von beiden die korrekte Formel hat. Lasst uns die Formeln für beide Mauern A und B analysieren. Mauer A: In Mauer A sieht man, dass \(k\) der Anzahl der sichtbaren Würfeloberseiten entspricht. Mauer A wächst horizontal, und zu jeder zusätzlichen Oberseite wird unten und oben ein Würfel hinzugefügt. Die Formel sollte also die Basis-Würfel (2 für jede sichtbare Seite) und die zusätzlichen Würfel für jede erweiterte Seite (jede Seite außer der ersten fügt einen neuen Würfel hinzu, also \(k-1\)) beinhalten. Milena's Formel \(2 \cdot k + (k - 1)\) gibt uns die Anzahl der Basis-Würfel (\(2 \cdot k\)) und die zusätzlichen Würfel (\(k - 1\)). Diese Formel scheint richtig zu sein. Kevin's Formel \(3 \cdot k - 1\) scheint nicht korrekt, da es drei Würfel für jede sichtbare Seite zählt, minus einen. Dies würde nicht die richtige Anzahl an Würfeln für Mauer A geben, weil es, wie wir festgestellt haben, zwei Würfel pro sichtbare Seite plus \(k - 1\) zusätzliche Würfel gibt. Mauer B: Bei Mauer B wächst die Mauer sowohl horizontal als auch vertikal. Für jede sichtbare Oberseite werden drei Würfel hinzugefügt - einer oben, einer in der Mitte, einer unten - außer für den letzten Würfel, da hier kein weiterer Würfel mehr hinzugefügt wird. Kevin's Formel \(3 \cdot k - 1\) scheint hier korrekt zu sein, weil genau dieser Wachstumsprozess abgebildet wird. Milena's Formel \(2 \cdot k + (k - 1)\) würde in diesem Fall nicht die korrekte Anzahl an Würfeln ergeben, da sie für Mauer B zu wenige Würfel berechnet. Zusammenfassung: - Milena's Formel ist korrekt für Mauer A. - Kevin's Formel ist korrekt für Mauer B. Antwort auf die Fragen: A: Wer hat wie überlegt? Milena hat die richtige Anzahl für Mauer A mit ihrer Formel \(2 \cdot k + (k - 1)\) berechnet. Kevin hat die richtige Anzahl für Mauer B mit seiner Formel \(3 \cdot k - 1\) berechnet. B: Liefern beide Terme für beliebig lange Mauern die richtige Anzahl Würfel? Nein. Milena's Formel liefert nur für Mauer A die richtige Anzahl an Würfeln, und Kevin's Formel nur für Mauer B. Keine der Formeln funktioniert für beide Mauertypen.
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