Example Question - midpoint
Here are examples of questions we've helped users solve.
Midpoint Identification in Geometry
<p>La question concerne la déterminaison du milieu d'un segment à l'aide d'une équation vectorielle. L'équation fournie est \(\vec{BA} + \vec{BC} = \vec{0}\).</p> <p>Pour trouver le milieu d'un segment, on utilise la propriété qui indique que la somme des vecteurs joignant les extrémités d'un segment au milieu est égale à zéro.</p> <p>1. Exprimer \(\vec{BA}\) en termes de coordonnées: \(\vec{BA} = \vec{A} - \vec{B}\).</p> <p>2. Exprimer \(\vec{BC}\) en termes de coordonnées: \(\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B}\).</p> <p>3. Ajouter les deux vecteurs et égaler à zéro: \((\vec{A} - \vec{B}) + (\vec{C} - \vec{B}) = \vec{0}\).</p> <p>4. Ceci se simplifie en \(\vec{A} - \vec{B} + \vec{C} - \vec{B} = \vec{0}\).</p> <p>5. En regroupant les vecteurs, on obtient \(\vec{A} + \vec{C} - 2\vec{B} = \vec{0}\).</p> <p>6. Si \(\vec{A} + \vec{C} - 2\vec{B} = \vec{0}\), alors \(\vec{A} + \vec{C} = 2\vec{B}\).</p> <p>7. En divisant chaque côté de l'équation par 2, on trouve \(\frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} = \vec{B}\), ceci signifie que le point B est le milieu du segment [AC], car il se trouve à égale distance d'A et de C.</p> <p>8. Donc, la réponse correcte est "B est le milieu de [AC]".</p>
Similarity and Ratio in a Parallelogram
<p>\text{(a) Similarity Reasoning:}</p> <p>Triangle \triangle AXM \:\text{is similar to}\: \triangle CXD \:\text{because}:</p> <p>\text{1. } \angle AXM = \angle CXD \:\text{opposite angles are equal in a parallelogram}.</p> <p>\text{2. } \angle A = \angle C \:\text{alternate angles are equal as AD} \parallel \text{BC in a parallelogram}.</p> <p>\text{Therefore, by AA similarity criterion, } \triangle AXM \sim \triangle CXD</p> <p>\text{(b) Area Ratio Calculation:}</p> <p>\text{Since } \triangle AXM \sim \triangle CXD,\: \text{the ratio of their areas is the square of the ratio of their corresponding sides.}</p> <p>\text{The corresponding sides are } AM \:\text{and} \: CD.\:</p> <p>AM = \frac{1}{2}AD \:\text{since M is the midpoint of AD}.</p> <p>CD = AD \:\text{as opposite sides of a parallelogram are equal}.</p> <p>\text{Therefore, the ratio of } AM \:\text{to} \: CD \:\text{is} \:\frac{AM}{CD} = \frac{1/2 \cdot AD}{AD} = \frac{1}{2}.</p> <p>\text{The ratio of areas is } (\frac{AM}{CD})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}.</p> <p>\text{Hence,} \:\frac{\text{area of } \triangle AXM}{\text{area of } \triangle CXD} = \frac{1}{4}.</p>
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