Integration of Multiple Functions
Чтобы решить предложенный интеграл, давайте разделим задачу на части и пошагово найдем неопределенные интегралы каждого из слагаемых. Это стандартный метод интегрирования, когда мы имеем дело с суммой или разностью функций.
Интеграл от \(6x^5\) равен \(\frac{6x^6}{6} = x^6\), так как мы интегрируем \(x^n\) как \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\).
Интеграл от \(-2x^4\) равен \(-\frac{2x^5}{5}\), применяя ту же формулу интегрирования степенных функций.
Интеграл от \(5x^{-5}\) равен \(5 \cdot \frac{x^{-5+1}}{-5+1}\), что упрощается до \(-\frac{5}{4x^4}\).
Интеграл от \(-\sqrt[3]{x^2}\) (который равен \(-x^{2/3}\)) равен \(-\frac{3x^{2/3+1}}{2/3+1}\), что упрощается до \(-\frac{9x^{5/3}}{5}\).
Интеграл от \(\frac{4}{x+2}\), это логарифмическая функция, которая интегрируется как \(4\ln|x+2|\).
Интеграл от \(1\) это просто \(x\), так как интеграл от константы равен константе умноженной на переменную интегрирования.
Объединяя все вместе, получаем:
\[ \int (6x^5 - 2x^4 + 5x^{-5} - \sqrt[3]{x^2} + \frac{4}{x+2} + 1)dx = x^6 - \frac{2x^5}{5} - \frac{5}{4x^4} - \frac{9x^{5/3}}{5} + 4\ln|x+2| + x + C \]
где \(C\) это константа интегрирования.
