Example Question - logarithmic differentiation
Here are examples of questions we've helped users solve.
Finding 4th Derivative of Logarithmic Function
Đề bài yêu cầu tìm đạo hàm cấp 4 của hàm số: \[ y = \log_{2}{(x^2 - 4x + 3)} - \log_{2}{(4x - 3)} \] Đầu tiên, ta có thể viết lại hàm số đã cho dưới dạng: \[ y = \log_{2}{\left(\frac{x^2 - 4x + 3}{4x - 3}\right)} \] Để tìm đạo hàm cấp 4, chúng ta cần tìm đạo hàm tuần tự từng cấp một. Sử dụng công thức đạo hàm của hàm lôgarit cơ sở 2, chúng ta tính được đạo hàm cấp 1 là: \[ y' = \frac{1}{\ln(2)} \cdot \frac{4x-3 \cdot (2x - 4) - (x^2 - 4x + 3) \cdot 4}{(x^2 - 4x + 3)(4x - 3)} \] Từ đạo hàm cấp 1, ta tiếp tục tính các đạo hàm cấp cao hơn (cấp 2, 3, và 4) bằng cách lấy đạo hàm của kết quả đạo hàm cấp trước. Tuy nhiên, việc tính đạo hàm cấp 4 thủ công có thể rất phức tạp và tốn thời gian, do đó đây là một công việc cần thực hiện một cách cẩn thận và từng bước. Bạn sẽ cần áp dụng các quy tắc đạo hàm nhiều lần, như quy tắc sản phẩm, quy tắc chuỗi và quy tắc của hàm phân thức. Nếu bạn muốn thực hiện chi tiết công việc này, bạn có thể bắt đầu bằng cách rút gọn biểu thức của y' một cách cẩn thận, sau đó tiếp tục tìm đạo hàm cấp 2, 3 và cuối cùng là cấp 4 dựa theo kết quả đó.
Derivative Calculation using Logarithmic Differentiation
To find the derivative f'(1) of the function f(x) using logarithmic differentiation, we start by taking the natural logarithm of both sides of the function. Given: f(x) = (2x - 1)^15 * (5x - 4)^5 * (9x - 8)^5 / (11x - 10)^2 * (14x - 13)^3 * (17x - 16)^3 Let y = f(x), then ln(y) = ln(f(x)) Taking logarithms: ln(y) = 15 * ln(2x - 1) + 5 * ln(5x - 4) + 5 * ln(9x - 8) - 2 * ln(11x - 10) - 3 * ln(14x - 13) - 3 * ln(17x - 16) Now, differentiate both sides with respect to x: 1/y * dy/dx = 15/(2x - 1) * 2 + 5/(5x - 4) * 5 + 5/(9x - 8) * 9 - 2/(11x - 10) * 11 - 3/(14x - 13) * 14 - 3/(17x - 16) * 17 Simplify: dy/dx = y * [ 30/(2x - 1) + 25/(5x - 4) + 45/(9x - 8) - 22/(11x - 10) - 42/(14x - 13) - 51/(17x - 16) ] Now we need to substitute x = 1 into the equation to find f'(1). First, evaluate y when x = 1, which is f(1), to substitute into the equation for dy/dx. f(1) = (2*1 - 1)^15 * (5*1 - 4)^5 * (9*1 - 8)^5 / (11*1 - 10)^2 * (14*1 - 13)^3 * (17*1 - 16)^3 f(1) = (1)^15 * (1)^5 * (1)^5 / (1)^2 * (1)^3 * (1)^3 f(1) = 1 Now we substitute x = 1 and f(1) = 1 into the derivative equation: f'(1) = 1 * [ 30/(2*1 - 1) + 25/(5*1 - 4) + 45/(9*1 - 8) - 22/(11*1 - 10) - 42/(14*1 - 13) - 51/(17*1 - 16) ] f'(1) = [ 30/1 + 25/1 + 45/1 - 22/1 - 42/1 - 51/1 ] f'(1) = 30 + 25 + 45 - 22 - 42 - 51 f'(1)= 35 Therefore, using logarithmic differentiation, we find that f'(1) = 35.
Derivative Calculation Using Logarithmic Differentiation
To differentiate the given function \( f(x) = \frac{x^3 (3 - 2x)^2}{\sqrt[3]{x} + 7} \) using logarithmic differentiation, we first take the natural logarithm of both sides of the equation defining \( f(x) \): 1. Take the natural logarithm of f(x): \[ \ln(f(x)) = \ln\left(\frac{x^3 (3 - 2x)^2}{\sqrt[3]{x} + 7}\right) \] 2. Apply properties of logarithms to simplify the right-hand side: \[ \ln(f(x)) = \ln(x^3) + \ln((3 - 2x)^2) - \ln(\sqrt[3]{x} + 7) \] \[ \ln(f(x)) = 3\ln(x) + 2\ln(3 - 2x) - \ln(\sqrt[3]{x} + 7) \] 3. Differentiate both sides with respect to x: \[ \frac{1}{f(x)} \cdot f'(x) = \frac{d}{dx}(3\ln(x)) + \frac{d}{dx}(2\ln(3 - 2x)) - \frac{d}{dx}(\ln(\sqrt[3]{x} + 7)) \] 4. Apply the derivatives; - For \( \frac{d}{dx}(3\ln(x)) \), use the derivative of \(\ln(x)\), which is \( \frac{1}{x} \): \[ \frac{d}{dx}(3\ln(x)) = 3 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3}{x} \] - For \( \frac{d}{dx}(2\ln(3 - 2x)) \), use the chain rule: \[ \frac{d}{dx}(2\ln(3 - 2x)) = 2 \cdot \frac{1}{(3 - 2x)} \cdot (-2) = \frac{-4}{(3 - 2x)} \] - For \( \frac{d}{dx}(\ln(\sqrt[3]{x} + 7)) \), again use the chain rule: \[ \frac{d}{dx}(\ln(\sqrt[3]{x} + 7)) = \frac{1}{(\sqrt[3]{x} + 7)} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt[3]{x}) \] \[ \frac{d}{dx}(\sqrt[3]{x}) = \frac{1}{3x^{2/3}} \] So, \[ \frac{d}{dx}(\ln(\sqrt[3]{x} + 7)) = \frac{1}{(\sqrt[3]{x} + 7)} \cdot \frac{1}{3x^{2/3}} \] 5. Now combine these results: \[ \frac{1}{f(x)} \cdot f'(x) = \frac{3}{x} - \frac{4}{3 - 2x} - \frac{1}{3x^{2/3}(\sqrt[3]{x} + 7)} \] 6. Solve for \( f'(x) \): \[ f'(x) = f(x) \cdot \left( \frac{3}{x} - \frac{4}{3 - 2x} - \frac{1}{3x^{2/3}(\sqrt[3]{x} + 7)} \right) \] 7. Replace \( f(x) \) with the original function: \[ f'(x) = \frac{x^3 (3 - 2x)^2}{\sqrt[3]{x} + 7} \cdot \left( \frac{3}{x} - \frac{4}{3 - 2x} - \frac{1}{3x^{2/3}(\sqrt[3]{x} + 7)} \right) \] This is the derivative of the function using logarithmic differentiation. You can simplify the expression further by combining terms and multiplying through by the original function.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com