Fractional Exponential Calculation with Negative Exponent
Para resolver esta operación, primero debemos entender que tenemos una fracción (\(\frac{16}{81}\)) elevada a un exponente negativo (-5). La propiedad de los exponentes nos dice que una base fraccionaria \(a/b\) elevada a un exponente negativo -n es igual a la base invertida \(b/a\) elevada al exponente positivo n.
En este caso, la base fraccionaria es \(\frac{16}{81}\), y el exponente al que está elevada es -5. Invertimos la fracción para obtener \(\frac{81}{16}\) y cambiamos el signo del exponente a positivo:
\[(\frac{16}{81})^{-5} = (\frac{81}{16})^{5}\]
Ahora, calcularemos \(\frac{81}{16}\) al exponente 5, lo cual significa multiplicar \(\frac{81}{16}\) por sí mismo 5 veces:
\[\left(\frac{81}{16}\right)^5 = \frac{81^5}{16^5}\]
Realizamos la potenciación de 81 y 16 por separado:
\(81^5\) (81 multiplicado por sí mismo 5 veces) y \(16^5\) (16 multiplicado por sí mismo 5 veces).
\(81^5 = 81 \times 81 \times 81 \times 81 \times 81\)
\(16^5 = 16 \times 16 \times 16 \times 16 \times 16\)
Como esta operación implica cálculos extensos, se pueden usar calculadoras para obtener los resultados:
\(81^5 = 3,486,784,401\)
\(16^5 = 1,048,576\)
Entonces:
\(\frac{81^5}{16^5} = \frac{3,486,784,401}{1,048,576}\)
Debido a la complejidad de estos números, es habitual dejar la respuesta en términos de la fracción no simplificada o como una potencia, pero si quieres obtener el resultado decimal exacto, se puede dividir 3,486,784,401 por 1,048,576, lo cual da:
\(\frac{3,486,784,401}{1,048,576} \approx 3323,0625\)
Así que, \((\frac{16}{81})^{-5}\) es aproximadamente igual a 3323,0625.
