Example Question - interval calculation
Here are examples of questions we've helped users solve.
Piecewise Function Analysis
La función mostrada en la imagen es una función a trozos, que tiene una forma diferente dependiendo del intervalo en el que se encuentre la variable independiente \( x \). La definición de la función es la siguiente: \[ f(x) = \begin{cases} 0.5x^2 + 2 & \text{si } x < 4 \\ 2x + 2 & \text{si } 4 \leq x < 10 \\ 7 & \text{si } x \geq 10 \end{cases} \] Para resolver la función para un valor específico de \( x \), necesitas determinar primero en qué intervalo se encuentra ese valor y luego usar la expresión correspondiente. Si por ejemplo queremos calcular el valor de la función para \( x = 3 \), ya que \( 3 < 4 \), usaríamos la primera expresión: \[ f(3) = 0.5 \cdot 3^2 + 2 = 0.5 \cdot 9 + 2 = 4.5 + 2 = 6.5 \] Para calcular el valor de la función para \( x = 5 \), ya que \( 4 \leq 5 < 10 \), usaríamos la segunda expresión: \[ f(5) = 2 \cdot 5 + 2 = 10 + 2 = 12 \] Y finalmente, para calcular el valor para \( x = 11 \), como \( 11 \geq 10 \), usaríamos la tercera expresión que es una constante: \[ f(11) = 7 \] Puedes usar este método para encontrar el valor de la función para cualquier valor de \( x \).
Calculating Average Rate of Change for Exponential Function
The question asks for the average rate of change of the function f(x) = 100 * 2^x on the interval [0,4]. The average rate of change of a function over the interval [a, b] is given by the formula: \[ \text{Average Rate of Change} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \] Here, our function f(x) = 100 * 2^x, our interval is [0, 4], so a = 0 and b = 4. We plug these into the function f to get f(0) and f(4): f(0) = 100 * 2^0 = 100 * 1 = 100 f(4) = 100 * 2^4 = 100 * 16 = 1600 Now plug f(0) and f(4) into the rate of change formula: \[ \text{Average Rate of Change} = \frac{f(4) - f(0)}{4 - 0} = \frac{1600 - 100}{4} = \frac{1500}{4} = 375 \] Hence, the average rate of change of f(x) on the interval [0,4] is 375.
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