Example Question - integration by parts
Here are examples of questions we've helped users solve.
Solving a Definite Integral Involving Exponential and Power Functions
<p>To solve the integral \(\int_0^{1/2} x^{1/2}e^{2x} \, dx\), we can use the method of integration by parts, which states that \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\).</p> <p>Let \( u = x^{1/2} \) and \( dv = e^{2x} \, dx \).</p> <p>Then we have \( du = \frac{1}{2}x^{-1/2} \, dx \) and \( v = \frac{1}{2}e^{2x} \).</p> <p>The integral becomes:</p> <p>\( \int_0^{1/2} x^{1/2}e^{2x} \, dx = \left. \frac{1}{2}x^{1/2}e^{2x} \right|_0^{1/2} - \int_0^{1/2} \frac{1}{2}e^{2x} \frac{1}{2}x^{-1/2} \, dx \)</p> <p>\( = \left. \frac{1}{2}x^{1/2}e^{2x} \right|_0^{1/2} - \frac{1}{4} \int_0^{1/2} x^{-1/2}e^{2x} \, dx \)</p> <p>To solve the remaining integral, we use integration by parts again with \( u = x^{-1/2} \) and \( dv = e^{2x} \, dx \).</p> <p>Then we get \( du = -\frac{1}{2}x^{-3/2}dx \) and \( v = \frac{1}{2}e^{2x} \).</p> <p>The remaining integral is:</p> <p>\( \frac{1}{4} \left( \left. x^{-1/2}e^{2x} \right|_0^{1/2} - \int_0^{1/2} \frac{1}{2}e^{2x}(-\frac{1}{2})x^{-3/2} \, dx \right) \)</p> <p>\(= \frac{1}{4} \left( \left. x^{-1/2}e^{2x} \right|_0^{1/2} + \frac{1}{4} \int_0^{1/2} x^{-3/2}e^{2x} \, dx \right) \)</p> <p>The evaluation of these integrals at the limits \(0\) and \(\frac{1}{2}\) must be approached with caution, because the terms involving \(x^{-1/2}\) and \(x^{-3/2}\) are undefined at \(x=0\). These expressions suggest the integral does not converge at the lower limit, however, this is dependent on the behavior of the exponential function as it approaches zero, which could negate the potential divergence caused by the power of \(x\).</p> <p>Without performing a limit analysis, the solution remains indeterminate at \(x = 0\). A detailed analysis might involve considering the limit of the integrand as \(x\) approaches zero and applying L'Hôpital's rule if necessary.</p>
Integrating a Polynomial Function
Claro, podemos resolver la integral de la función f(x) = 3x^2 - 2 con respecto a x. La integral indefinida se obtiene al encontrar la antiderivada de f(x). En este caso, necesitamos aplicar la regla de potencias para la integración, que dice que ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, donde C es la constante de integración. Vamos a integrar la función término por término: ∫(3x^2 - 2) dx = 3∫x^2 dx - ∫2 dx Ahora aplicaremos la regla de potencias mencionada anteriormente: Para 3∫x^2 dx, n es igual a 2, así que la antiderivada será (x^(2+1))/(2+1), que se simplifica a (x^3)/3. Para ∫2 dx, simplemente tratamos 2 como una constante multiplicando a x^0, por lo que su antiderivada es 2x (dado que la antiderivada de x^0 es x). Por lo tanto: 3∫x^2 dx = 3 * (x^3)/3 = x^3 (la constante 3 se cancela con el denominador 3). ∫2 dx = 2x Sumamos las antiderivadas para obtener la integral indefinida completa: ∫(3x^2 - 2) dx = x^3 - 2x + C Donde C es la constante de integración que no se conoce a menos que se den más condiciones o límites para la integral.
Integration by Parts of ln(x+3) * cos(x)
Задача изображена на фотографии - это интеграл от функции ln(x+3) умноженной на cos(x) в пределах от 0 до пи (π), и нужно его решить с использованием интегрирования по частям. Применим метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям выглядит следующим образом: ∫ u dv = uv - ∫ v du где u и v - некоторые функции от x, du и dv их производные по x. Выберем u и dv следующим образом: u = ln(x+3), тогда du = (1/(x+3))dx dv = cos(x)dx, тогда v = ∫cos(x)dx = sin(x) Теперь применим формулу интегрирования по частям: ∫ ln(x+3) * cos(x)dx = ln(x+3) * sin(x) - ∫ sin(x) * (1/(x+3))dx Теперь у нас есть новый интеграл для расчета - ∫ sin(x) / (x+3) dx. Поиск первообразной для этого интеграла непростая задача, и она не будет выражаться через элементарные функции. Таким образом, этот интеграл не может быть вычислен аналитически в явном виде. Как правило, такие интегралы вычисляются численно или с использованием специальных функций. Если это задание из контрольной или экзамена, возможно, ожидается какой-то другой подход или предварительное упрощение, или же это может быть опечатка в постановке задачи.
Solving Integral of Exponential and Trigonometric Function
The image shows the integral: \[ \int e^{2x} \cos(4x) \,dx \] To solve this integral, we'll have to use integration by parts multiple times or apply the tabular integration by parts method. However, there's an alternative approach that's often quicker and involves recognizing that the integral is the real part of a complex exponential. Here are the steps for the alternative method: 1. Recognize that \(e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)\), where \(i\) is the imaginary unit. 2. Write \(\cos(4x) = \Re(e^{4ix})\), where \(\Re\) denotes the real part: \[ \int e^{2x} \cos(4x) \,dx = \Re\left(\int e^{2x} \cdot e^{4ix} \,dx\right) \] 3. Combine the exponentials: \[ \Re\left(\int e^{2x} \cdot e^{4ix} \,dx\right) = \Re\left(\int e^{(2+4i)x} \,dx\right) \] 4. Integrate the complex exponential: \[ \Re\left(\int e^{(2+4i)x} \,dx\right) = \Re\left(\frac{1}{2+4i} e^{(2+4i)x} + C\right) \] where \(C\) is the constant of integration. 5. Simplify the expression by finding the real part after multiplying by the conjugate to get rid of the \(i\): \[ \frac{1}{2+4i} = \frac{2-4i}{(2+4i)(2-4i)} = \frac{2-4i}{4+16} = \frac{2-4i}{20} = \frac{1}{10} - \frac{1}{5}i \] 6. Insert this into the integrated function: \[ \Re\left(\frac{1}{10} - \frac{1}{5}i\right)e^{(2+4i)x} + C = \left(\frac{1}{10} e^{2x} \cos(4x) - \frac{1}{5} e^{2x} \sin(4x)\right) + C \] 7. The final result only requires the real part: \[ \int e^{2x} \cos(4x) \,dx = \frac{1}{10} e^{2x} \cos(4x) - \frac{1}{5} e^{2x} \sin(4x) + C \] Hence, this is the evaluated integral of the original function.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com