Example Question - indefinite integrals
Here are examples of questions we've helped users solve.
Integration using Partial Fractions and Natural Logarithm Rules
这个问题涉及到不定积分。给定的积分是： ∫ x / (x^2 - 9) dx 我们可以使用分项积分法来解决这个积分。首先，通过将分子乘以一个常数然后加上或减去同样的常数，使得分子形式与分母的导数接近。因为x^2的导数是2x，我们可以将分子换成如下形式： x = (1/2) * (2x) 那么积分可以写作： ∫ [(1/2) * (2x)] / (x^2 - 9) dx 分子现在是分母导数的一半，可以使用自然对数的积分规则。我们可以在分子中再加上和减去9的一半（即4.5或9/2），以此构成分母减去常数的形式： ∫ [(1/2) * (2x) +/- 9/2] / (x^2 - 9) dx 这将积分分解为两部分： (1/2) * ∫ (2x / (x^2 - 9)) dx + (1/2) * ∫ (-9 / (x^2 - 9)) dx 第一部分是简单的自然对数积分，我们知道∫ du/u = ln|u| + C。第二部分，我们可以通过简单的代换来解决，u = x^2 - 9, du = 2xdx。 让我们解第一部分积分： (1/2) * ∫ (2x / (x^2 - 9)) dx = (1/2) * ln|x^2 - 9| + C 第二部分的积分，我们可以使用部分分式分解将其写成更简单的形式。我们知道x^2 - 9可以分解为(x-3)(x+3)，因此我们可以写： (1/2) * ∫ (-9 / (x^2 - 9)) dx = (1/2) * ∫ (-9 / ((x-3)(x+3))) dx 我们可以通过部分分式分解方法找到两个常数A和B，使得： -9 / ((x-3)(x+3)) = A/(x-3) + B/(x+3) 求出A和B以后，分别对两个简单的分式进行积分，结果会是两个对数函数。详细解的步骤如下： 1. 将-9 / ((x-3)(x+3))分解成A/(x-3) + B/(x+3)的形式。 2. 解出A和B的值。 3. 分别计算A/(x-3)和B/(x+3)的积分。 4. 将结果合并得到原积分的结果。 这个问题的关键在于处理积分中涉及的代数和对数函数的积分规则，以及如何将复杂表达式简化为可解形式。然而，请注意，给定的图像并未提供足够的信息来完成整个解题过程，因为部分分式分解所需的A和B值需要通过代数操作来解决。 总的来说，解决这个积分需要综合使用代数技巧、分项积分法以及对数积分规则。
Integration of Multiple Functions
Чтобы решить предложенный интеграл, давайте разделим задачу на части и пошагово найдем неопределенные интегралы каждого из слагаемых. Это стандартный метод интегрирования, когда мы имеем дело с суммой или разностью функций. Интеграл от \(6x^5\) равен \(\frac{6x^6}{6} = x^6\), так как мы интегрируем \(x^n\) как \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\). Интеграл от \(-2x^4\) равен \(-\frac{2x^5}{5}\), применяя ту же формулу интегрирования степенных функций. Интеграл от \(5x^{-5}\) равен \(5 \cdot \frac{x^{-5+1}}{-5+1}\), что упрощается до \(-\frac{5}{4x^4}\). Интеграл от \(-\sqrt[3]{x^2}\) (который равен \(-x^{2/3}\)) равен \(-\frac{3x^{2/3+1}}{2/3+1}\), что упрощается до \(-\frac{9x^{5/3}}{5}\). Интеграл от \(\frac{4}{x+2}\), это логарифмическая функция, которая интегрируется как \(4\ln|x+2|\). Интеграл от \(1\) это просто \(x\), так как интеграл от константы равен константе умноженной на переменную интегрирования. Объединяя все вместе, получаем: \[ \int (6x^5 - 2x^4 + 5x^{-5} - \sqrt[3]{x^2} + \frac{4}{x+2} + 1)dx = x^6 - \frac{2x^5}{5} - \frac{5}{4x^4} - \frac{9x^{5/3}}{5} + 4\ln|x+2| + x + C \] где \(C\) это константа интегрирования.
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