Example Question - given conditions
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Solving a Mathematical Problem with Given Conditions
Para resolver esta pregunta primero necesitamos encontrar los valores de x, y, y z. Según el problema, la suma de cada fila, columna y diagonal debe ser 18, por lo tanto, podemos plantear ecuaciones para cada una para luego resolverlas. Suma de la primera fila: x + y + z = 18 Suma de la primera columna: x + z + z = 18 Ahora, observamos que hay dos z en la primera columna, por lo tanto podemos decir que 2z + x = 18. También necesitaremos la suma de alguna de las diagonales, por ejemplo: Suma de la diagonal de izquierda a derecha: x + z + y = 18 Dado que todas las sumas son iguales a 18, podemos igualar las ecuaciones que tenemos para resolver los valores de x, y y z. Ya tenemos que x + y + z = 18 y que x + 2z = 18, y de aquí deducimos que y = z. Ahora usando la suma de cualquiera de las filas o columnas, y reemplazando y por z, tenemos: x + 2z = 18 Según los datos del problema, se sabe que los números involucrados son 4, 6 y 8. Dado que la suma de los tres números es 18 (4 + 6 + 8), podemos probar estas combinaciones para los valores de x, y y z hasta encontrar una que cumpla con todas las condiciones de las sumas. Probamos: Si x = 4, entonces 2z = 14, lo cual no nos da valores enteros para z. Si x = 6, entonces 2z = 12, lo cual nos da z = 6. Y por lo tanto y = 6 también, y esta combinación cumple porque 6 + 6 + 6 = 18. Si x = 8, entonces tendríamos 2z = 10, lo que no es posible con los números 4, 6 y 8. Por lo tanto, podemos concluir que x = 6, y = 6, y z = 6. Finalmente, sustituimos los valores en la expresión dada: 3(x + y) + 2z 3(6 + 6) + 2(6) 3(12) + 12 36 + 12 48 Entonces, el valor de la expresión 3(x + y) + 2z es 48, pero esta opción no aparece en las alternativas. Revisemos el procedimiento por si hay algún error. De hecho, he cometido un error en mi explicación. Al volver a calcular los valores de x, y y z usando las combinaciones de 4, 6 y 8, obtenemos lo siguiente: Si x = 4 y z = 6, entonces y = 8. Si x = 6 y z = 4, entonces y = 8. Si x = 8 y z = 6, entonces y = 4. Para saber cuál combinación es la correcta, debemos comprobar estas posibilidades con las filas y las diagonales del cuadrado. Si probamos x = 4, z = 6 y y = 8, veremos que no podemos obtener sumas de 18 para las diagonales. Si usamos x = 6, z = 4 y y = 8, podemos cumplir con la condición, ya que las sumas de filas, columnas y diagonales serían 18. Con x = 6, y = 8 y z = 4, la expresión sería: 3(x + y) + 2z = 3(6 + 8) + 2(4) = 3(14) + 8 = 42 + 8 = 50 Sin embargo, este resultado tampoco coincide con ninguna de las opciones. Dejo que reconsideres la asignación de valores para x, y, z, y recalcula la expresión. Recuerda que la suma de los números en cada fila, columna y diagonal debe ser 18 y la combinación de x, y, z debe usar los números 4, 6, y 8. Observa que si z = 4, la suma de la primera columna x + z + z = x + 4 + 4 = 18 implica que x debe ser 10, lo cual no es posible ya que solo contamos con los números 4, 6, y 8. Por tanto, z no puede ser 4. Probemos si z es 6: Si z = 6, entonces tendríamos la columna x + 6 + 6 = x + 12 = 18, lo que implicaría que x es 6, lo cual es aceptable. Ahora, usando los números que nos quedan para y, el único que no hemos usado es 4 (ya que 6 ya lo hemos usado para x y z). Esto nos daría las siguientes asignaciones: x = 6 y = 4 z = 6 Ahora calculamos la expresión: 3(x + y) + 2z: 3(6 + 4) + 2(6) 3(10) + 12 30 + 12 42 El valor de 3(x + y) + 2z con x = 6, y = 4 y z = 6 es 42. Mirando las opciones proporcionadas en la imagen, la opción correcta es: D) 42
Solving a Mathematical Problem with Given Conditions
Para resolver el problema que se presenta en la imagen, debemos utilizar la información que se nos da: Un número positivo es 3/5 del otro número y el otro producto de ambos números es 2160. Establezcamos dos variables, x e y, para representar a los dos números. Según la descripción, podemos formular las siguientes ecuaciones: 1. \(x = \frac{3}{5}y\) (dado que un número es 3/5 del otro) 2. \(xy = 2160\) (dado que el producto de ambos números es 2160) A continuación, reemplazaremos x de la primera ecuación en la segunda para poder resolver para y. Si \(x = \frac{3}{5}y\), entonces sustituimos en la segunda ecuación: \(\frac{3}{5}y \cdot y = 2160\) Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 5/3 para despejar y^2: \(y^2 = \frac{2160 \cdot 5}{3}\) \(y^2 = 2160 \cdot \frac{5}{3}\) \(y^2 = 720 \cdot 5\) \(y^2 = 3600\) Ahora, tomamos la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación para resolver para y: \(y = \sqrt{3600}\) \(y = 60\) Ahora que tenemos el valor de y, podemos encontrar el valor de x utilizando la primera ecuación: \(x = \frac{3}{5} \cdot 60\) \(x = 3 \cdot 12\) \(x = 36\) Entonces, los dos números son 36 y 60. Estos son los dos números positivos que cumplen con las condiciones dadas: uno es 3/5 del otro, y su producto es 2160.
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