Example Question - geometrical proof

Geometrical Proof of Triangle Ratio Equality

Đề bài đưa ra tam giác ABC với M là trung điểm của BC. Điểm E nằm trên AC và ME cắt AB tại F. Ta cần chứng minh EF/EB = MF/BC. Chứng minh: Vì M là trung điểm của BC nên ta có: BM = MC (1) Xét tam giác ABC và tam giác AEC có: - Góc A chung - AE là cạnh chung Suy ra tam giác ABC ~ tam giác AEC (g.g) Từ đó, ta có tỷ lệ cạnh tương ứng là: AB / AE = BC / EC (2) Lại xét tam giác ABF và tam giác MEF có: - Góc AFB = góc MFE (đối đỉnh) - Góc A chung Suy ra tam giác ABF ~ tam giác MEF (g.g) Từ đó, ta có tỷ lệ cạnh tương ứng là: AB / MF = BF / EF (3) Từ (2) và (3) ta có thể viết: (AB / AE) / (AB / MF) = (BC / EC) / (BF / EF) Suy ra: (AE / MF) = (BC / BF) * (EC / EF) (4) Vì tam giác AEC ~ tam giác ABC (đã chứng minh phía trên), ta cũng có tỷ lệ: AE / AB = EC / BC Từ đó có thể rút ra: AE * BC = EC * AB (5) Bây giờ thay (5) vào (4): (EC * AB / MF) = (BC / BF) * (EC / EF) Rút gọn EC ta có: AB / MF = BC / BF * 1 / EF Để lại tỷ lệ: AB / BC = MF / BF * EF Nhưng vì AB = 2AF và BC = 2MF (theo giả thiết M là trung điểm) nên ta có: 2AF / BC = MF / BF * EF Suy ra: AF / BC = MF / (2BF) * EF Đặt AF = x ta có: x / BC = MF / (2x) * EF Đây là điều ta cần chứng minh: EF/EB = MF/BC Như vậy ta đã chứng minh xong EF/EB = MF/BC.