Example Question - geometric patterns
Here are examples of questions we've helped users solve.
Identifying Sequence of Figures
Para resolver este problema, debemos identificar el patrón que sigue la secuencia de las figuras. Observando las figuras proporcionadas: - En la primera figura, hay un sector verde a la derecha. - En la segunda figura, hay dos sectores verdes, uno a cada lado del sector verde de la primera figura. - En la tercera figura, hay tres sectores verdes, agregando otro sector verde a la derecha del segundo. - En la cuarta figura, hay cuatro sectores verdes, agregando otro sector verde a la derecha del tercero. - En la quinta figura, hay cinco sectores verdes, agregando otro sector verde a la derecha del cuarto. Así parece que el patrón es agregar un nuevo sector verde a la derecha del último agregado en la figura previa, formando un patrón en el sentido de las agujas del reloj. Ya que la secuencia sigue este patrón, la figura que ocupa la décima posición tendrá diez sectores verdes, y no hay que olvidar que se empieza a contar desde la posición marcada en la primera figura. Para encontrar la decimosegunda figura, seguimos el patrón y contamos dos posiciones más allá de la décima. Ahora, vamos a identificar las figuras correctas entre las opciones: a) La primera figura tiene sectores verdes distribuidos de una manera que corresponde a la figura que está en la sexta posición de la secuencia (seis sectores verdes siguiendo el patrón). La segunda figura de esta opción sería la siguiente en la secuencia, la séptima. b) La primera figura tiene sectores verdes que corresponden a la octava posición de la secuencia (ocho sectores verdes siguiendo el patrón), y la segunda figura sería la novena. c) La primera figura tiene sectores verdes que corresponden a la décima posición de la secuencia, ya que cuenta con diez sectores verdes siguiendo el patrón. La segunda figura tendría once sectores, lo cual la pondría en la undécima posición. d) Esta opción muestra la figura que estaría en la duodécima posición como la primera (doce sectores verdes siguiendo el patrón). La segunda figura tendría trece sectores verdes, colocándola en la decimotercera posición. Entonces, según nuestro análisis, la opción c) contiene las figuras para la décima (primera figura) y undécima posición (segunda figura), y la opción d) contiene las figuras para la decimosegunda (primera figura) y decimotercera posición (segunda figura). La pregunta solicita identificar las figuras en la décima y decimosegunda posición, por lo tanto, necesitamos combinar la primera figura de la opción c) y la primera figura de la opción d).
Geometric Patterns and Formulas for Polyhedron Numbers
Die Aufgabe fragt nach der Erklärung einer Formel für Oktaederzahlen und der Herleitung von Formeln für Hexagon- und Pentagonzahlen basierend auf den gegebenen Figuren. a) Oktaederzahlen sind die Anzahlen von Kugeln, die benötigt werden, um ein Oktaeder zu formen, wobei jede Schicht des Oktaeders ein Quadrat darstellt, das im Vergleich zur darunterliegenden Schicht um eine Kugel länger ist. Die Formel für die n-te Oktaederzahl ist: \[ Q_n = n^3 + 2\cdot(\frac{n\cdot(n - 1)}{2}) + n\cdot(n - 1) \] - \( n^3 \) repräsentiert das Zentrum des Oktaeders, wo jedes Quadrat auf jeder Schicht n Kugeln in jede Richtung hat (also \( n \times n \times n \)). - \( 2\cdot(\frac{n\cdot(n - 1)}{2}) \) entspricht den vier dreieckigen Seiten des Oktaeders (jede Seite ist ein Dreieck mit der Basis \( n \) und Höhe \( n-1 \)). - \( n\cdot(n - 1) \) steht für die zusätzlichen Kugeln, die entlang der vertikalen Kanten des Oktaeders hinzugefügt werden. b) Um die Formel für Hexagonzahlen zu finden, betrachten wir die beiden Hexagonfiguren (6. Hexagonzahl). Hierbei bilden die Kugeln ein hexagonales Muster. Man erkennt, dass die äußere Form immer ein reguläres Hexagon ist, und dass mit jeder neuen Schicht ein Hexagon mit einem größeren Durchmesser gebildet wird. Das Muster für Hexagonzahlen scheint aus einer zentralen Kugel zu bestehen, um die herum sechsseitige Schichten angeordnet werden. Jede Schicht hat an den sechs Seiten des Hexagons Kugeln, deren Anzahl sich mit jeder Schicht um eins erhöht. Die Formel scheint der Summe der umgebenden Kugeln in jeder Schicht plus der zentralen Kugel zu entsprechen. Die Formel für die n-te Hexagonzahl \( H_n \) könnte also sein: \[ H_n = 1 + \sum_{i=1}^{n-1}(6i) \] wobei \( \sum \) die Summation von \( i = 1 \) bis \( n-1 \) darstellt, und \( 6i \) ist die Anzahl der Kugeln in der ith-Schicht. c) Für Pentagonzahlen, betrachten wir die Pentagonfiguren (4. Pentagonzahl). Diese Figuren ähneln dem Hexagon, haben jedoch fünf Seiten statt sechs. Die Anzahl der Kugeln, die jede Pentagonseite bilden, erhöht sich ebenfalls um eine Kugel mit jeder neuen Schicht. Die Formel für die n-te Pentagonzahl \( P_n \) könnte dementsprechend sein: \[ P_n = 1 + \sum_{i=1}^{n-1}(5i) \] Daraus ergibt sich wieder, dass \( \sum \) die Summation von \( i = 1 \) bis \( n-1 \) ist, und \( 5i \) ist die Anzahl der Kugeln in der ith-Schicht. Zur Verifizierung der Formeln für Hexagon- und Pentagonzahlen müssten wir die Summation ausführen und die Ergebnisse überprüfen, um sicherzustellen, dass sie mit den gezeigten Mustern übereinstimmen.
Pattern Expansion and Perimeter Calculation
This question involves determining the perimeter of a pattern that is expanding according to a rule. Each new figure in the sequence is formed by adding rectangles to the previous figure, and these additions are highlighted in red in the image. We're given that the perimeters of the first four figures in the sequence are 4 cm, 8 cm, 20 cm, and 56 cm respectively. To find the perimeter of the "Figure 6", we need to identify the pattern by which the perimeters are increasing from one figure to the next: - From Figure 1 to Figure 2, the perimeter increases by 4 cm. - From Figure 2 to Figure 3, the perimeter increases by 12 cm (8 cm + 4 = 12 cm; 8 + 12 = 20). - From Figure 3 to Figure 4, the perimeter increases by 36 cm (20 cm + 3*12 = 56 cm). We can observe that the increment itself is multiplied by 3 each time: - Increment from Figure 1 to 2 is 4 cm. - Increment from Figure 2 to 3 is 12 cm (3 times the previous increment of 4 cm). - Increment from Figure 3 to 4 is 36 cm (3 times the previous increment of 12 cm). Using this pattern, we can calculate the increment from Figure 4 to Figure 5: - Increment from Figure 4 to 5 is 108 cm (3 times the previous increment of 36 cm). Now, let's add this increment to the perimeter of Figure 4: - Perimeter of Figure 5 = 56 cm + 108 cm = 164 cm. Now, we need to calculate the increment for the next figure, which will be 3 times 108 cm: - Increment from Figure 5 to 6 is 324 cm (3 times the previous increment of 108 cm). Finally, let's add this increment to the perimeter of Figure 5 to get the perimeter of Figure 6: - Perimeter of Figure 6 = 164 cm + 324 cm = 488 cm. Therefore, the perimeter of Figure 6 is 488 cm.
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