Solving a Fourth Degree Algebraic Equation
Đây là một bài toán đại số với phương trình \(x^4 - 12x^2 + 16 = 0\). Để giải phương trình này, ta có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ. Cụ thể, đặt \(t = x^2\) (với \(t \geq 0\) vì \(x^2\) không âm). Phương trình sẽ trở thành:
\(t^2 - 12t + 16 = 0\)
Giờ ta giải phương trình bậc hai này:
Ứng dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(t^2 + bt + c = 0\) là \(t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), ta có:
\(a = 1, b = -12, c = 16\)
Áp dụng công thức, ta tính được:
\(t = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}\)
\(t = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 64}}{2}\)
\(t = \frac{12 \pm \sqrt{80}}{2}\)
\(t = \frac{12 \pm 4\sqrt{5}}{2}\)
\(t = 6 \pm 2\sqrt{5}\)
Vì \(t\) là \(x^2\) và \(x^2\) không thể âm, nên ta chỉ xét \(t = 6 + 2\sqrt{5}\) hoặc \(t = 6 - 2\sqrt{5}\). Giờ ta sẽ quay lại biến \(x\) bằng cách lấy căn bậc hai của t:
\(x^2 = 6 + 2\sqrt{5}\) hoặc \(x^2 = 6 - 2\sqrt{5}\)
Lấy căn bậc hai cho cả hai vế, ta sẽ có các nghiệm cho x là:
\(x = \sqrt{6 + 2\sqrt{5}}\), \(x = -\sqrt{6 + 2\sqrt{5}}\), \(x = \sqrt{6 - 2\sqrt{5}}\), và \(x = -\sqrt{6 - 2\sqrt{5}}\).
Đây là các nghiệm của phương trình \(x^4 - 12x^2 + 16 = 0\).
