Example Question - four-digit numbers
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Calculating Four-Digit Numbers Meeting Criteria
Wir sollen die Anzahl der vierstelligen Zahlen berechnen, die folgende Kriterien erfüllen: a. Die ausschließlich aus unterschiedlichen Ziffern bestehen. b. Die Ziffer 4 enthalten. a. Um die Anzahl der vierstelligen Zahlen zu finden, die alle aus unterschiedlichen Ziffern bestehen, müssen wir die Permutationen der 10 möglichen Ziffern (0 bis 9) für jede Stelle der Zahl berücksichtigen. Da die erste Ziffer (die Tausenderstelle) nicht Null sein kann, gibt es 9 mögliche Zahlen für die erste Stelle. Für die zweite Stelle (die Hunderterstelle) bleiben nur noch 9 Ziffern übrig (da eine bereits verwendet wurde und die Null jetzt zulässig ist), für die dritte Stelle bleiben 8 Optionen und für die vierte Stelle 7 Optionen. Also: 9 (Tausenderstelle) * 9 (Hunderterstelle) * 8 (Zehnerstelle) * 7 (Einerstelle) = 4536 verschiedene vierstellige Zahlen, die aus unterschiedlichen Ziffern bestehen. b. Um die Anzahl der vierstelligen Zahlen zu berechnen, die die Ziffer 4 enthalten, können wir das Problem in mehrere Fälle unterteilen, abhängig davon, an welcher Stelle sich die 4 befindet: 1. Fall: Die 4 ist an der ersten Stelle. Dann haben wir für die anderen drei Stellen 9 Optionen (da die 4 schon verwendet wird): 1 (für die 4 an der ersten Stelle) * 9 (Hunderterstelle) * 9 (Zehnerstelle) * 9 (Einerstelle) = 729 Möglichkeiten. 2. Fall: Die 4 ist an der zweiten Stelle. Da die erste Stelle nicht Null sein kann, bleiben 8 Optionen für die erste Stelle und wieder jeweils 9 für die anderen beiden Stellen: 8 (Tausenderstelle) * 1 (für die 4 an der zweiten Stelle) * 9 * 9 = 648 Möglichkeiten. 3. Fall: Die 4 ist an der dritten Stelle. Dafür gibt es wiederum 8 Optionen für die erste Stelle und 9 für beide der restlichen Stellen: 8 * 9 (für die ersten zwei Stellen) * 1 (für die 4 an der dritten Stelle) * 9 = 648 Möglichkeiten. 4. Fall: Die 4 ist an der vierten Stelle. Hier gibt es ebenfalls 8 Optionen für die erste Stelle und 9 für die anderen beiden Stellen, bevor die 4 gesetzt wird: 8 * 9 * 9 (für die ersten drei Stellen) * 1 (für die 4 an der vierten Stelle) = 648 Möglichkeiten. Insgesamt haben wir für alle Fälle: Fall 1 + Fall 2 + Fall 3 + Fall 4 = 729 + 648 + 648 + 648 = 2673 verschiedene vierstellige Zahlen, die die Ziffer 4 enthalten. Das ergibt für: a. 4536 Zahlen b. 2673 Zahlen
Counting Four-Digit Numbers with Unique Digits and Including Digit 4
Die in der Abbildung gestellte Frage lautet, wie viele vierstellige Zahlen es gibt, die: a) ausschließlich aus unterschiedlichen Ziffern bestehen und b) die Ziffer 4 enthalten. Lass uns zuerst Teil a) lösen: Eine vierstellige Zahl besteht aus den Stellen Tausender, Hunderter, Zehner und Einer. Für jede dieser Stellen können verschiedene Ziffern (0-9) gewählt werden, aber da die Zahlen unterschiedliche Ziffern beinhalten sollen, verringern sich die Optionen mit jeder gewählten Ziffer. Für die erste Stelle, die Tausenderstelle, kann keine 0 gewählt werden (denn sonst wäre es keine vierstellige Zahl), also bleiben 9 Möglichkeiten (1-9). Für die zweite Stelle bleiben dann noch 9 Möglichkeiten (die 10 minus der bereits gewählten Ziffer für die Tausenderstelle). Für die dritte Stelle bleiben dann 8 Möglichkeiten, und für die vierte Stelle 7. Die Anzahl der verschiedenen vierstelligen Zahlen, die aus unterschiedlichen Ziffern bestehen, ist also: 9 (Tausender) × 9 (Hunderter) × 8 (Zehner) × 7 (Einer) = 4536. Nun zu Teil b): Hier sind wir an vierstelligen Zahlen interessiert, die die Ziffer 4 beinhalten. Wir behandeln die Stelle, an der die 4 gesetzt wird, und die übrigen Stellen separat. Die Ziffer 4 könnte an einer von vier Stellen stehen, das heißt: 1. Tausenderstelle, 2. Hunderterstelle, 3. Zehnerstelle, 4. Einerstelle. Für jede dieser Stellen gibt es unterschiedliche Fälle zu betrachten. 1. Wenn die 4 auf der Tausenderstelle ist, können die restlichen drei Stellen aus den Ziffern 0-9 mit Ausnahme der 4 gewählt werden. Das bedeutet, dass für jede der drei Stellen 9 Möglichkeiten existieren, also: 1 (da die 4 fix ist) × 9 (Hunderter) × 9 (Zehner) × 9 (Einer) = 729. 2. Wenn die 4 auf der Hunderterstelle ist, gilt Ähnliches, aber wir müssen berücksichtigen, dass die Tausenderstelle nicht 0 sein darf und auch keine 4 sein darf. Das ergibt also: 1 × 8 × 9 × 9 = 648. 3. Ähnlich verhält es sich, wenn die 4 auf der Zehner- oder Einerstelle steht: 1 × 8 × 8 × 9 = 576 (für die 4 auf der Zehnerstelle) 1 × 8 × 8 × 9 = 576 (für die 4 auf der Einerstelle). Addierst du all diese Möglichkeiten zusammen, erhältst du die Gesamtanzahl der vierstelligen Zahlen, die die Ziffer 4 beinhalten: 729 + 648 + 576 + 576 = 2529. Zusammengefasst: a) Die Anzahl der verschiedenen vierstelligen Zahlen, die aus unterschiedlichen Ziffern bestehen, ist 4536. b) Die Anzahl der vierstelligen Zahlen, die die Ziffer 4 beinhalten, ist 2529.
Calculation of Four-Digit Numbers with Unique Digits and Containing the Digit 4
Um diese Frage zu beantworten, betrachten wir beide Teile separat: a. Wir möchten die Anzahl der vierstelligen Zahlen bestimmen, die ausschließlich aus unterschiedlichen Ziffern bestehen. Für eine vierstellige Zahl kann die erste Ziffer (die Tausenderstelle) keine 0 sein, also gibt es 9 Möglichkeiten (1-9). Für die Hundertstelle haben wir noch 9 Möglichkeiten (0-9 außer die bereits verwendete Ziffer), für die Zehnerstelle 8 Möglichkeiten und für die Einerstelle noch 7 Möglichkeiten. Das ergibt insgesamt 9 x 9 x 8 x 7 Zahlen, was 4536 ist. b. Für Zahlen, die die Ziffer 4 enthalten, müssen wir etwas anders vorgehen, weil die 4 an jeder der vier Stellen stehen könnte. Zuerst bestimmen wir, wie viele vierstellige Zahlen es insgesamt gibt ohne Einschränkungen bezüglich der Wiederholung von Ziffern. Die erste Ziffer kann von 1 bis 9 sein (9 Möglichkeiten), und jede der folgenden Ziffern kann von 0 bis 9 sein (10 Möglichkeiten), also gibt es 9 x 10 x 10 x 10 = 9000 vierstellige Zahlen insgesamt. Nun berechnen wir die Anzahl der Zahlen, die keine 4 enthalten. Für jede Stelle haben wir jetzt 9 Optionen (da die 4 ausgeschlossen ist). Also gibt es 9 x 9 x 9 x 9 = 6561 solcher Zahlen. Um die Anzahl der Zahlen zu bestimmen, die eine 4 enthalten, subtrahieren wir die Zahl der Zahlen ohne eine 4 von der Gesamtzahl der vierstelligen Zahlen: 9000 (gesamt) - 6561 (ohne 4) = 2439 Zahlen, die die Ziffer 4 enthalten.
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