Solving Quadratic Equations and Finding Parameters
Phần ảnh bạn cung cấp gồm có hai câu hỏi. Tôi sẽ giải từng câu một.
1) Giải phương trình: \(9x^2 - 11x + 2 = 0\).
Phương trình này có thể giải thông qua công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \(ax^2 + bx + c = 0\) có nghiệm \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\).
Ta có \(a = 9\), \(b = -11\), và \(c = 2\).
Thực hiện theo công thức, ta có:
\(x = \frac{-(-11) \pm \sqrt{(-11)^2 - 4 * 9 * 2}}{2 * 9}\)
\(x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 72}}{18}\)
\(x = \frac{11 \pm \sqrt{49}}{18}\)
\(x = \frac{11 \pm 7}{18}\)
Từ đó ta có hai nghiệm:
\(x = \frac{11 + 7}{18} = \frac{18}{18} = 1\)
\(x = \frac{11 - 7}{18} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}\)
Vậy phương trình có hai nghiệm là \(x = 1\) và \(x = \frac{2}{9}\).
2) Câu hỏi thứ hai yêu cầu giải phương trình \(x^2 + (1 - m)x - m = 0\) và tìm giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 9\).
Trước hết, để phương trình có hai nghiệm phân biệt, \(\Delta > 0\), tức là:
\((1 - m)^2 - 4(-m) > 0\)
\(1 - 2m + m^2 + 4m > 0\)
\(m^2 + 2m + 1 > 0\)
\((m + 1)^2 > 0\).
Điều này luôn đúng với mọi \(m \neq -1\).
Áp dụng định lý Vi-ét, ta có \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) và \(x_1 x_2 = \frac{c}{a}\).
\(x_1 + x_2 = -\frac{1 - m}{1} = m - 1\)
\(x_1 x_2 = -\frac{-m}{1} = m\).
Theo yêu cầu của đề bài, ta cần \(x_1^2 + x_2^2 = 9\). Sử dụng công thức \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2\), ta có:
\((x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 9\)
\((m - 1)^2 - 2m = 9\)
\(m^2 - 2m + 1 - 2m = 9\)
\(m^2 - 4m - 8 = 0\).
Ta giải phương trình bậc hai này, sử dụng công thức nghiệm:
\(m = \frac{4 \pm \sqrt{(4)^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)}\)
\(m = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2}\)
\(m = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2}\)
\(m = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}}{2}\)
\(m = 2 \pm 2\sqrt{3}\).
Vậy có hai giá trị của \(m\) thoả mãn điều kiện đề bài là \(m = 2 + 2\sqrt{3}\) và \(m = 2 - 2\sqrt{3}\) (với \(m \neq -1\)).
