Example Question - finding derivative
Here are examples of questions we've helped users solve.
Finding the Derivative of an Exponential Function
<p>\(\frac{d}{dx}f(x) = \frac{d}{dx}(2 \cdot 5^x)\)</p> <p>\(= 2 \cdot \frac{d}{dx}(5^x)\)</p> <p>\(= 2 \cdot 5^x \ln(5)\)</p> <p>Thus, \(f'(x) = 2 \cdot 5^x \ln(5)\).</p>
Derivative of a Quadratic Function using Power Rule
To find the derivative of the function y = x^2 with respect to x, you can use the power rule. The power rule states that for any function y = x^n, where n is a constant, the derivative, dy/dx, is given by n*x^(n-1). Applying the power rule to y = x^2: dy/dx = 2*x^(2-1) = 2*x So, the derivative of y = x^2 is dy/dx = 2x.
Finding the Derivative of a Function
Để giải câu hỏi này, chúng ta cần tìm đạo hàm của hàm số đã cho. Hàm số được cho là \( y = \frac{2}{x} - 3\sqrt{x} + \frac{1}{x^2} \). Ta sẽ tìm đạo hàm của từng thành phần trong hàm số: 1. Đạo hàm của \(\frac{2}{x}\) là \(-\frac{2}{x^2}\). 2. Đạo hàm của \(3\sqrt{x}\) hay \(3x^{\frac{1}{2}}\) là \(\frac{3}{2}x^{-\frac{1}{2}}\) hoặc \(\frac{3}{2\sqrt{x}}\). 3. Đạo hàm của \(\frac{1}{x^2}\) hay \(x^{-2}\) là \(-2x^{-3}\) hoặc \(-\frac{2}{x^3}\). Cộng tất cả các đạo hàm ta được, ta có đạo hàm của hàm số là: \( y' = -\frac{2}{x^2} - \frac{3}{2\sqrt{x}} - \frac{2}{x^3} \). Nhìn vào các đáp án, đáp án đúng cần phải có dạng tương tự. Đáp án C có cùng các phần tử với đạo hàm mà ta vừa tìm, vậy nên đáp án C là đáp án đúng: \( C) y' = -2x^{-2} - \frac{3}{2}x^{-\frac{1}{2}} - 2x^{-3} \).
Derivative of Product of Functions
The given functions are \( f(x) = x^3 + 1 \) and \( g(x) = x^2 \). We need to find the derivative of the product of these functions, \( f(x) \cdot g(x) \), at the point \( x = -1 \). To solve this, we first find the product of the functions: \[ f(x) \cdot g(x) = (x^3 + 1)(x^2) = x^5 + x^2 \] Now we take the derivative of the product: \[ \frac{d}{dx}(f(x) \cdot g(x)) = \frac{d}{dx}(x^5 + x^2) \] Using the power rule for derivatives \( \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \), the derivatives of each term are: \[ \frac{d}{dx}(x^5) = 5x^4 \] \[ \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \] Combine them: \[ \frac{d}{dx}(f(x) \cdot g(x)) = 5x^4 + 2x \] Finally, we evaluate this derivative at \( x = -1 \): \[ \frac{d}{dx}(f(x) \cdot g(x))|_{x = -1} = 5(-1)^4 + 2(-1) = 5 - 2 = 3 \] Therefore, the derivative of the function \( f(x) \cdot g(x) \) at the point \( x = -1 \) is 3.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com