Example Question - exponent properties
Here are examples of questions we've helped users solve.
Fractional Exponential Calculation with Negative Exponent
Para resolver esta operación, primero debemos entender que tenemos una fracción (\(\frac{16}{81}\)) elevada a un exponente negativo (-5). La propiedad de los exponentes nos dice que una base fraccionaria \(a/b\) elevada a un exponente negativo -n es igual a la base invertida \(b/a\) elevada al exponente positivo n. En este caso, la base fraccionaria es \(\frac{16}{81}\), y el exponente al que está elevada es -5. Invertimos la fracción para obtener \(\frac{81}{16}\) y cambiamos el signo del exponente a positivo: \[(\frac{16}{81})^{-5} = (\frac{81}{16})^{5}\] Ahora, calcularemos \(\frac{81}{16}\) al exponente 5, lo cual significa multiplicar \(\frac{81}{16}\) por sí mismo 5 veces: \[\left(\frac{81}{16}\right)^5 = \frac{81^5}{16^5}\] Realizamos la potenciación de 81 y 16 por separado: \(81^5\) (81 multiplicado por sí mismo 5 veces) y \(16^5\) (16 multiplicado por sí mismo 5 veces). \(81^5 = 81 \times 81 \times 81 \times 81 \times 81\) \(16^5 = 16 \times 16 \times 16 \times 16 \times 16\) Como esta operación implica cálculos extensos, se pueden usar calculadoras para obtener los resultados: \(81^5 = 3,486,784,401\) \(16^5 = 1,048,576\) Entonces: \(\frac{81^5}{16^5} = \frac{3,486,784,401}{1,048,576}\) Debido a la complejidad de estos números, es habitual dejar la respuesta en términos de la fracción no simplificada o como una potencia, pero si quieres obtener el resultado decimal exacto, se puede dividir 3,486,784,401 por 1,048,576, lo cual da: \(\frac{3,486,784,401}{1,048,576} \approx 3323,0625\) Así que, \((\frac{16}{81})^{-5}\) es aproximadamente igual a 3323,0625.
Simplifying a Rational Expression using Exponent Properties
To simplify the given expression, we will apply the properties of exponents. The expression is: \[ \frac{10x^{n+4} + 125x^{n+2}}{3x^{n+3} - 20x^{n+1}} \] First, factor out the common factor of \(x\) from the numerator and denominator: Numerator: Take \( x^{n+2} \) as the common factor. \[ x^{n+2} (10x^2 + 125) \] Denominator: Take \( x^{n+1} \) as the common factor. \[ x^{n+1} (3x^2 - 20) \] Now the expression becomes: \[ \frac{x^{n+2} (10x^2 + 125)}{x^{n+1} (3x^2 - 20)} \] Now we will cancel the common \(x\) terms, remembering that \(x^{n+2} / x^{n+1} = x\): \[ \frac{x (10x^2 + 125)}{3x^2 - 20} \] After canceling, we are then left with the simplified expression that we cannot further simplify: \[ \frac{x (10x^2 + 125)}{3x^2 - 20} \] This is the simplified version of the original expression, assuming that \(x \neq 0\) and \(x^2 \neq \frac{20}{3}\) so that the denominator is not zero.
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