Example Question - exact equations
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Differential Equations: Separable and Exactness
<p>Verdadero o falso: una ecuación diferencial ordinaria de la forma \(\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)\), es decir, una ecuación diferencial separable, no siempre es exacta.</p> <p>Para demostrar si la afirmación es verdadera o falsa, recordemos las definiciones:</p> <p>- Una ecuación es separable si puede expresarse como \(\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)\) donde \(g(x)\) y \(h(y)\) son funciones en términos exclusivamente de \(x\) y de \(y\), respectivamente.</p> <p>- Una ecuación es exacta si se puede escribir en la forma \(M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0\) y cumple la condición \(\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}\).</p> <p>Una ecuación separable puede no ser exacta ya que no siempre cumple con la condición de exactitud mencionada anteriormente, por lo que la afirmación es:</p> <p>Falsa.</p>
First-Order Separable Differential Equations and Exactness
<p>Este enunciado es \textbf{falso}. No toda ecuación diferencial de primer orden separable es exacta.</p> <p>Una ecuación diferencial de la forma \(\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)\) es separable y se puede resolver encontrando dos antiderivadas al separar las variables x e y:</p> <p>\int \frac{1}{h(y)} dy = \int g(x) dx.</p> <p>Por otro lado, una ecuación diferencial exacta tiene la forma \(M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0\), donde \(\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}\). Una ecuación separable no cumple necesariamente esta condición para ser exacta.</p>
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