Example Question - equations of lines
Here are examples of questions we've helped users solve.
Finding Values for Parallel and Intersecting Lines
Bài toán này cho chúng ta hai phương trình đường thẳng d1 là y = mx - 5 và d2 là y = (2m + 1)x + 3. Chúng ta cần tìm giá trị của m để: a) Hai đường thẳng song song với nhau Hai đường thẳng sẽ song song với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng hệ số góc nhưng khác phần tử cắt trên trục y. Hệ số góc của d1 là m, và hệ số góc của d2 là 2m + 1. Để chúng song song với nhau, m = 2m + 1. Giải phương trình này, ta có: m = 2m + 1 ⇒ 2m - m = -1 ⇒ m = -1 Vậy m = -1 là giá trị cần tìm để hai đường thẳng song song với nhau. b) Hai đường thẳng cắt nhau Hai đường thẳng sẽ cắt nhau khi và chỉ khi chúng có các hệ số góc khác nhau. Tức là m ≠ 2m + 1. Giả sử m = 2m + 1 để tìm điều kiện mâu thuẫn và sau đó xác định điều kiện thực sự cho m: m = 2m + 1 ⇒ m - 2m = 1 ⇒ -m = 1 ⇒ m = -1 Điều này cho thấy khi m = -1 thì hai đường thẳng song song, nghĩa là đối với tất cả các giá trị của m khác -1, hai đường thẳng sẽ cắt nhau. Vậy tất cả giá trị của m khác -1 đều thoả mãn điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau.
Equations of Lines and Points
The task is to find the equations of lines that are: (a) Parallel to the given line (b) Perpendicular to the given line Both lines must pass through a given point. The point in this instance is (-7, -2), and the given line is x = 1. (a) A line parallel to x = 1 is also a vertical line, because x = 1 is vertical. All vertical lines have equations of the form x = c, where c is a constant. Since the line we're trying to find must pass through the point (-7, -2), the value of c must be -7. Therefore, the equation of the line parallel to x = 1 and passing through (-7, -2) is: x = -7 (b) A line perpendicular to a vertical line is a horizontal line. All horizontal lines have equations of the form y = k, where k is a constant. Since the line we're trying to find must pass through the point (-7, -2), the value of k must be -2. Therefore, the equation of the line perpendicular to x = 1 and passing through (-7, -2) is: y = -2 So the answers are: (a) x = -7 (b) y = -2
Finding Point of Intersection of Two Lines
To find the coordinates of the point of intersection of the two lines, we first need the equations of both lines. The equation of the first line is given as \( 2x - 3y + 1 = 0 \). The second line passes through the points S(7,-6) and T(-3,2). We can find the slope of this line (m) using the slope formula: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] \[ m = \frac{2 - (-6)}{-3 - 7} \] \[ m = \frac{8}{-10} \] \[ m = -\frac{4}{5} \] Next, we will use the point-slope form to write the equation for the second line using point S(7, -6) or T(-3, 2). I'll choose S(7, -6) for this example: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] \[ y - (-6) = -\frac{4}{5}(x - 7) \] \[ y + 6 = -\frac{4}{5}x + \frac{4}{5} \cdot 7 \] \[ y + 6 = -\frac{4}{5}x + \frac{28}{5} \] \[ y = -\frac{4}{5}x + \frac{28}{5} - \frac{30}{5} \] \[ y = -\frac{4}{5}x - \frac{2}{5} \] To find the intersection, we solve the two equations together. Let's write them in the standard form: Equation of line 1: \( 2x - 3y + 1 = 0 \) Equation of line 2: \( \frac{-4}{5}x - y - \frac{2}{5} = 0 \) Now multiply equation 2 by 5 to remove fractions: Equation of line 2: \( -4x - 5y - 2 = 0 \) To solve the system, we can use either substitution or elimination. Let's use elimination: Multiply the first equation by 4 to align coefficients for x: \[ 8x - 12y + 4 = 0 \] \[ -4x - 5y - 2 = 0 \] Add these equations together: \[ 4x - 17y + 2 = 0 \] \[ 2 \rightarrow 8x - 17y = -2 \] Now, we will solve for \( x \) using equation 1 and substitution into equation 2: \[ 2x - 3y + 1 = 0 \rightarrow 2x = 3y - 1 \] \[ x = \frac{3}{2}y - \frac{1}{2} \] Substitute \( x \) in equation \( 8x - 17y = -2 \): \[ 8(\frac{3}{2}y - \frac{1}{2}) - 17y = -2 \] \[ 12y - 4 - 17y = -2 \] \[ -5y = 2 \] \[ y = \frac{-2}{5} \] Now substitute \( y \) back into one of the original equations to find \( x \): \[ 2x - 3\left(\frac{-2}{5}\right) + 1 = 0 \] \[ 2x + \frac{6}{5} + 1 = 0 \] \[ 2x + \frac{6}{5} + \frac{5}{5} = 0 \] \[ 2x = -\frac{6}{5} - \frac{5}{5} \] \[ 2x = -\frac{11}{5} \] \[ x = -\frac{11}{10} \] Therefore, the coordinates of the point of intersection of the two lines are \(x = -\frac{11}{10}\) and \(y = \frac{-2}{5}\), or more clearly written as \((-1.1, -0.4)\).
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com