Quadratic Equation with Distinct Roots
Để giải bài toán trong hình, ta cần tìm ra giá trị của \( m \) sao cho phương trình bậc hai \( x^2 - mx + m - 1 = 0 \) có hai nghiệm phân biệt. Để có hai nghiệm phân biệt, điều kiện cần và đủ là biệt thức của phương trình bậc hai phải lớn hơn 0, tức là:
\[ \Delta > 0 \]
Với phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \), biệt thức được tính bởi công thức:
\[ \Delta = b^2 - 4ac \]
Áp dụng vào phương trình \( x^2 - mx + m - 1 = 0 \), ta có:
\[ a = 1, b = -m, c = m - 1 \]
Tính biệt thức:
\[ \Delta = (-m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 1) \]
\[ \Delta = m^2 - 4m + 4 \]
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần có:
\[ m^2 - 4m + 4 > 0 \]
Đây là một tam thức bậc hai với \( a = 1 \), \( b = -4 \), và \( c = 4 \). Ta có thể biến đổi tam thức này như sau:
\[ (m - 2)^2 > 0 \]
Vì một bình phương luôn không âm, nên \( (m - 2)^2 \) chỉ có thể nhỏ hơn hoặc bằng 0 khi \( m = 2 \). Mọi giá trị khác của \( m \) sẽ làm cho biểu thức trên lớn hơn không, điều này có nghĩa là phương trình sẽ có hai nghiệm phân biệt với mọi \( m \neq 2 \).
Vậy nên, đáp án đúng ở đây là:
C. \( m \neq 2 \).
