Derivative of a Quotient Function
Để tìm đảo hàm của hàm số \( y = \frac{3x - 2}{\sqrt{2x + 5}} \), ta sử dụng quy tắc đạo hàm của thương.
Nếu ta có \( u(x) \) và \( v(x) \) là hai hàm số khả vi và \( v(x) \neq 0 \), thì đạo hàm của thương là:
\[ (u/v)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]
Ở đây, ta thiết lập \( u(x) = 3x - 2 \) và \( v(x) = \sqrt{2x + 5} \). Ta cần tìm \( u'(x) \) và \( v'(x) \) trước.
Đạo hàm của \( u(x) \) là:
\[ u'(x) = (3x - 2)' = 3 \]
Để tìm đạo hàm của \( v(x) \), vì \( v(x) = (2x + 5)^{1/2} \), ta sử dụng quy tắc chuỗi để tìm đạo hàm của hàm số mũ:
\[ v'(x) = \frac{1}{2}(2x + 5)^{-1/2} \cdot (2x + 5)' = \frac{1}{2}(2x + 5)^{-1/2} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x + 5}} \]
Bây giờ ta có thể tìm đạo hàm của thương:
\[ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{3\sqrt{2x + 5} - (3x - 2)\frac{1}{\sqrt{2x + 5}}}{2x + 5} \]
\[ y' = \frac{3(2x + 5) - (3x - 2)}{(2x + 5)^\frac{3}{2}} \]
\[ y' = \frac{6x + 15 - 3x + 2}{(2x + 5)^\frac{3}{2}} \]
\[ y' = \frac{3x + 17}{(2x + 5)^\frac{3}{2}} \]
Nhìn vào các phương án, ta thấy đáp án đúng là:
\( B) \) \( y' = \frac{3x + 17}{(2x + 5)^\frac{3}{2}} \)
