Calculation of Surface Area and Volume of Cylinder
Para resolver este problema, necesitamos calcular primero el área de la superficie total (At) y luego el volumen (V) del cilindro.
Primero, calculamos el área de la base del cilindro. La fórmula para el área de un círculo es \( A = \pi r^2 \), donde \( r \) es el radio del círculo. Dado que el diámetro del cilindro es de 15 cm, el radio será la mitad de eso, es decir, \( r = \frac{15}{2} = 7.5 \) cm.
Entonces, el área de una de las bases circulares es:
\( A_{base} = \pi (7.5)^2 = 56.25\pi \)
Como hay dos bases en un cilindro, el área total de las dos bases será:
\( A_{bases\_total} = 2 \times 56.25\pi = 112.5\pi \)
Ahora, calculamos el área lateral del cilindro. La fórmula para el área lateral de un cilindro es \( A_{lateral} = 2\pi rh \), donde \( h \) es la altura del cilindro. La altura dada es de 30 cm, por lo que:
\( A_{lateral} = 2\pi(7.5)(30) = 450\pi \)
Sumando el área de las bases y el área lateral, obtenemos el área de la superficie total:
\( At = A_{bases\_total} + A_{lateral} = 112.5\pi + 450\pi = 562.5\pi \)
Para calcular el volumen de un cilindro usamos la fórmula \( V = \pi r^2h \). Reemplazamos \( r \) y \( h \) con los valores dados:
\( V = \pi (7.5)^2(30) = 1687.5\pi \)
Ahora, utilizamos una aproximación de \( \pi \) como 3.1416 para hallar los valores numéricos:
\( At = 562.5\pi \approx 562.5 \times 3.1416 \)
\( At \approx 1767.25 \) cm²
\( V = 1687.5\pi \approx 1687.5 \times 3.1416 \)
\( V \approx 5303.54 \) cm³
Notemos que en la imagen, las opciones son aproximaciones, y la aproximación para el área de la superficie total y el volumen difiere ligeramente de nuestros cálculos. Dicho esto, basados en nuestras cifras y las opciones proporcionadas, la opción más cercana a nuestros cálculos es la:
D. \( At = 800 \) cm² y \( V = 3000 \) cm³
Sin embargo, este no es el resultado correcto según nuestros cálculos, parece haber un error, ya sea en las opciones proporcionadas o en la interpretación del volumen y el área de la superficie dado el valor de \( \pi \) que se utilice. Normalmente se usaría 3.1416 para \( \pi \), pero si se usa 3.14, incluso las aproximaciones podrían variar. Es importante comprobar estas aproximaciones con la precisión adecuada o proporcionar el resultado exacto en términos de \( \pi \).
