Example Question - cube wall structure
Here are examples of questions we've helped users solve.
Comparing Formulas for Counting Cubes in Walls
In der Aufgabe geht es darum, herauszufinden, wer die Anzahl der Würfel in den beiden Mauern (A und B) korrekt beschrieben hat. Milena gibt die Formel 2 · x + (x + 1) an und Kevin gibt die Formel 3 · x + 1 an. Berechnen wir die Anzahl der Würfel für beide Mauern (A und B) basierend auf den zwei Formeln. Für Mauer A (mit x = 3 sichtbaren Würfeln an der Front): - Nach Milena's Überlegung wäre das: 2 · 3 + (3 + 1) = 6 + 4 = 10 Würfel. - Nach Kevin's Überlegung wäre das: 3 · 3 + 1 = 9 + 1 = 10 Würfel. Für Mauer B (mit x = 4 sichtbaren Würfeln an der Front): - Nach Milena's Überlegung wäre das: 2 · 4 + (4 + 1) = 8 + 5 = 13 Würfel. - Nach Kevin's Überlegung wäre das: 3 · 4 + 1 = 12 + 1 = 13 Würfel. In beiden Fällen liefern die Formeln von Milena und Kevin die gleiche Anzahl von Würfeln. Damit haben beide die Überlegungen vernachlässigt; die Formeln stimmen für diese spezifischen Fälle überein. Um zu entscheiden, wer richtig liegt, müssen wir jedoch die Struktur der Mauern betrachten. Bei Mauer A (und auch bei B) besteht jede zusätzliche Ebene aus einem Würfel mehr als die Ebene darunter. Das bedeutet, dass jeder zusätzliche sichtbare Würfel an der Vorderseite dazu führt, dass die Gesamtanzahl der Würfel um zwei steigt (einer oben drauf und einer dahinter), und es gibt immer einen Würfel mehr als sichtbare Würfel an der Front. Mit diesem Verständnis ist die Formel von Milena (2 · x + (x + 1)) korrekt, weil sie für jede weitere Ebene 2 zusätzliche Würfel und einen Würfel zu Beginn hinzufügt. Kevins Formel (3 · x + 1) suggeriert, dass jede Ebene um 3 Würfel wächst, was nicht der Fall ist, wenn man sich die Struktur der Wände ansieht. Die korrekte Antwort ist: a) Milena hat die Überlegung korrekt angestellt. b) Die Formel von Kevin führt bei beiden Mauern zur gleichen Anzahl von Würfeln, ist aber strukturell nicht korrekt. Mit einer Ausnahme: Beim ersten Würfel (x = 1) würden beide Formeln tatsächlich das gleiche Ergebnis liefern (Milena: 2·1+(1+1) = 4; Kevin: 3·1+1 = 4). Ab der zweiten Ebene (x = 2) liefert die Formel von Kevin jedoch ein zu hohes Ergebnis (Milena: 2·2+(2+1) = 7; Kevin: 3·2+1 = 7), während die Formel von Milena weiterhin die korrekte Anzahl der Würfel wiedergibt.
Analyzing Cube Wall Formulas
Die Aufgabenstellung zeigt zwei verschiedene Mauern, die aus Würfeln bestehen. Milena und Kevin beschreiben die Anzahl Würfel dieser Mauern unterschiedlich. Milena's Formel lautet: 2 * (k + 1). Kevin's Formel lautet: 3 * k + 1. Um zu bestimmen, wer überlegt hat, müssen wir die Anzahl der Würfel in jeder Mauer für ein bestimmtes k (die Anzahl der aufeinanderfolgenden vertikalen Würfelpaare) berechnen und sehen, welche Formel die korrekte Anzahl liefert. Betrachten wir die Mauer A: - Bei Mauer A gibt es 3 vertikale Würfelpaare (k = 3). - Nach Milena's Formel wäre die Anzahl der Würfel: 2 * (k + 1) = 2 * (3 + 1) = 2 * 4 = 8. - Nach Kevin's Formel wäre die Anzahl der Würfel: 3 * k + 1 = 3 * 3 + 1 = 9 + 1 = 10. Wenn wir Mauer A zählen, sehen wir, dass es tatsächlich 10 Würfel gibt. Daher ist Kevin's Formel korrekt für Mauer Typ A. Betrachten wir die Mauer B: - Bei Mauer B gibt es 2 vertikale Würfelpaare (k = 2). - Nach Milena's Formel wäre die Anzahl der Würfel: 2 * (k + 1) = 2 * (2 + 1) = 2 * 3 = 6. - Nach Kevin's Formel wäre die Anzahl der Würfel: 3 * k + 1 = 3 * 2 + 1 = 6 + 1 = 7. Wenn wir Mauer B zählen, sehen wir, dass es tatsächlich 7 Würfel gibt. Daher ist Kevin's Formel korrekt für Mauer Typ B. Kevin's Formel liefert in beiden Fällen die richtige Anzahl von Würfeln. Somit hat Kevin überlegt. Um die Antwort zu begründen: Kevin's Formel berücksichtigt den einzelnen Würfel an der Spitze jeder Mauer (das "+1" in seiner Formel), der bei jeder Wand unabhängig von der Anzahl der vertikalen Würfelpaare hinzukommt. Milena's Formel hingegen berechnet nur die Anzahl der Würfel für Mauern der Typ B korrekt (wenn es keinen einzelnen Würfel oben gibt), da sie die vertikalen Würfelpaare und den einzigen horizontalen Würfel an der Basis zählt, aber nicht den einzelnen Würfel oben.
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