Example Question - counting dice
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Analyzing Formulas for Counting Dice in Wall Structures
Um die Frage zu lösen, betrachten wir zunächst, was Milena und Kevin gesagt haben. Milena sagt: \( n = 2 \times (k + 1) \) - wobei \( n \) die Anzahl der Würfel und \( k \) die Anzahl der sichtbaren Würfel auf der obersten Ebene ist. Kevin sagt: \( n = 3 \times k + 1 \) Wir können diese Formeln verwenden, um zu überprüfen, ob beide oder einer von ihnen immer die richtige Anzahl von Würfeln liefert. A. Wer hat wie überlegt? Wir betrachten die Struktur: 1. Für die Mauer A (mit einer sichtbaren Ebene von 3 Würfeln): Milena würde rechnen: \( n = 2 \times (3 + 1) = 2 \times 4 = 8 \) Kevin würde rechnen: \( n = 3 \times 3 + 1 = 9 + 1 = 10 \) Wir können sehen, dass Milenas Formel für Mauer A nicht funktioniert, da tatsächlich 9 Würfel vorhanden sind. Kevins Formel funktioniert hier korrekt. 2. Für die Mauer B (mit einer sichtbaren Ebene von 4 Würfeln): Milena würde rechnen: \( n = 2 \times (4 + 1) = 2 \times 5 = 10 \) Kevin würde rechnen: \( n = 3 \times 4 + 1 = 12 + 1 = 13 \) Auch hier können wir sehen, dass nur Kevins Formel die richtige Anzahl von Würfeln für Mauer B liefert, welche 13 sind. B. Liefern beide Formeln für beliebige Mauern die richtige Anzahl Würfel? Nein, nur Kevins Formel liefert für jede beliebige Mauer die richtige Anzahl an Würfeln. Das liegt daran, dass jede Mauer ein zusätzlicher Würfel unter jedem sichtbaren Würfel auf der obersten Ebene und ein weiterer Würfel am Ende hinzugefügt wird. Deshalb multipliziert Kevins Formel die Anzahl der Würfel auf der obersten Ebene mit 3 und addiert dann 1, um diesen zusätzlichen Würfel am Ende zu berücksichtigen. Um zu begründen, warum Kevins Formel für beliebige Mauern funktioniert, können wir feststellen, dass jede Mauer aus Dreiergruppen von Würfeln besteht, wobei jeder sichtbare Würfel auf der obersten Ebene zwei unsichtbare Würfel unter sich hat. Zu diesen Gruppen von drei kommt noch ein Würfel hinzu, der sich am Ende der Mauer befindet. Deshalb wird die Anzahl der sichtbaren Würfel auf der obersten Ebene mit 3 multipliziert und dann um 1 erhöht.
Counting Dice for Wall Construction
Die Aufgabe fordert uns auf, die Anzahl der Würfel zu zählen, die zum Bau von Mauern verwendet wurden, und gibt uns die Beschreibungen von Milena und Kevin, wie die Anzahl der Würfel (n) in jeder Mauer berechnet werden kann. Milena: \(n = 2k+1\) Kevin: \(n = 3k+1\) Zuerst werden wir für beide Mauern (A und B) die Anzahl der Würfel berechnen, um herauszufinden, ob beide Beschreibungen richtig sein können. Beginnen wir mit Mauer A: Kevin sagt, dass es \(3k+1\) Würfel gibt. Das bedeutet, wenn man die Anzahl der Würfel durch 3 teilt und dann 1 subtrahiert, sollte das Ergebnis eine ganze Zahl sein, da k die Anzahl der Würfelschichten ist. Schauen wir, ob dies bei Mauer A funktioniert: - Es gibt insgesamt 7 Würfel in Mauer A. - Nach Kevins Formel: \( (7 - 1) / 3 = 6 / 3 = 2 \) - Da 2 eine ganze Zahl ist, könnte Kevins Beschreibung für Mauer A stimmen. Nun überprüfen wir Milenas Formel: - Milenas Formel sagt, dass es \(2k+1\) Würfel gibt. Das bedeutet, dass, wenn wir 1 Würfel abziehen und dann durch 2 teilen, das Ergebnis eine ganze Zahl sein muss. - Nach Milenas Formel: \( (7 - 1) / 2 = 6 / 2 = 3 \) - Da 3 eine ganze Zahl ist, könnte auch Milenas Beschreibung für Mauer A stimmen. Jetzt berechnen wir für Mauer B: Kevin sagt, dass es \(3k+1\) Würfel gibt. Probieren wir es aus: - Es gibt insgesamt 10 Würfel in Mauer B. - Nach Kevins Formel: \( (10 - 1) / 3 = 9 / 3 = 3 \) - Da 3 eine ganze Zahl ist, könnte Kevins Beschreibung für Mauer B stimmen. Nun zu Milenas Formel: - Milenas Formel sagt, dass es \(2k+1\) Würfel gibt, was bedeutet, dass nach Abziehen von 1 Würfel und Teilen durch 2 das Ergebnis eine ganze Zahl sein muss. - Nach Milenas Formel: \( (10 - 1) / 2 = 9 / 2 \) - Da 9 durch 2 nicht ohne Rest teilbar ist, kann Milenas Beschreibung für Mauer B nicht stimmen. Zusammenfassend: - Mauer A folgt sowohl Milenas als auch Kevins Formeln. - Mauer B folgt nur Kevins Formel. Anhand dieser Analyse können wir schlussfolgern, dass Kevins Formel (\(3k+1\)) auf beide Mauern zutrifft, während Milenas Formel (\(2k+1\)) nur auf Mauer A zutrifft. Daher ist Kevins Beschreibung die konsistente, die auf beide Mauern anwendbar ist.
Counting Dice in Different Configurations
Die Aufgabe handelt vom Zählen von Würfeln in verschiedenen Anordnungen gemäß den gegebenen Formeln. Laut den gegebenen Formeln von Milena und Kevin berechnen wir die Anzahl der Würfel für jede Mauer: Milena's Formel: 2 * k + (k + 1) Kevin's Formel: 3 * k + 1 Jetzt müssen wir herausfinden, welche Mauer von wem gebaut wurde – also ob die Anzahl der Würfel zu Milena's oder zu Kevin's Formel passt. Beginnen wir mit der Mauer A: Um zu überprüfen, ob eine Mauer von Milena gebaut wurde, teilen wir die Anzahl der sichtbaren Würfel durch 2 und subtrahieren 1, um zu sehen, ob das Ergebnis eine ganze Zahl ist (da k eine ganze Zahl sein muss). Für eine Mauer von Kevin subtrahieren wir 1 von der Anzahl der sichtbaren Würfel und teilen dann durch 3, um zu sehen, ob das Ergebnis eine ganze Zahl ist. Mauer A hat 14 sichtbare Würfel. Wir setzen dies in beide Formeln ein und sehen, ob das Ergebnis passt. Milena: \( \frac{14}{2} - 1 = 7 - 1 = 6 \) Kevin: \( \frac{14 - 1}{3} = \frac{13}{3} \) Da 6 eine ganze Zahl ist und \(\frac{13}{3}\) keine ganze Zahl ist, wurde Mauer A von Milena gebaut. Wir machen dasselbe für die Mauer B, die 10 sichtbare Würfel hat: Milena: \( \frac{10}{2} - 1 = 5 - 1 = 4 \) Kevin: \( \frac{10 - 1}{3} = \frac{9}{3} = 3 \) Da beide Ergebnisse ganze Zahlen sind, könnte Mauer B von beiden gebaut worden sein. Für Mauer C mit 15 sichtbaren Würfeln: Milena: \( \frac{15}{2} - 1 = 7.5 - 1 \) ist keine ganze Zahl Kevin: \( \frac{15 - 1}{3} = \frac{14}{3} \) ist keine ganze Zahl Da kein Ergebnis eine ganze Zahl ist, kann Mauer C von keinem der beiden gebaut worden sein basierend auf den gegebenen Formeln. Für Mauer D mit 13 sichtbaren Würfeln: Milena: \( \frac{13}{2} - 1 = 6.5 - 1 \) ist keine ganze Zahl Kevin: \( \frac{13 - 1}{3} = \frac{12}{3} = 4 \) Da 4 eine ganze Zahl ist, wurde Mauer D von Kevin gebaut. Zusammenfassend: - Mauer A wurde von Milena gebaut. - Mauer B könnte von beiden gebaut worden sein. - Mauer C wurde von keinem basierend auf den Formeln gebaut. - Mauer D wurde von Kevin gebaut.
Analysis of Formulas for Counting Dice in Wall Structures
In der Aufgabe haben Milena und Kevin Formeln aufgestellt, um die Anzahl der Würfel für diese Mauern zu beschreiben. Milenas Formel lautet \(2 \cdot n + 4\), während Kevins Formel \(3 \cdot n + 1\) lautet. Die Frage ist, ob beide Formeln die richtige Anzahl von Würfeln für beliebige lange Mauern liefern, und du sollst deine Antwort begründen. Um diese Frage zu beantworten, vergleichen wir die Formeln für ein paar Werte von \(n\), das die Anzahl der Segmente (die Gruppen von 3 Würfeln nebeneinander) darstellt: Für \(n=1\) (das erste Segment): - Milenas Formel gibt \(2\cdot1+4 = 2+4 = 6\) Würfel. - Kevins Formel gibt \(3\cdot1+1 = 3+1 = 4\) Würfel. In diesem Fall liefert nur Milenas Formel die richtige Anzahl der Würfel, da jeder Segment aus 3 Würfeln und einem Würfel oben besteht, was insgesamt 4 Würfel ergibt. Für \(n=2\) (die erste zwei Segmente): - Milenas Formel gibt \(2\cdot2+4 = 4+4 = 8\) Würfel. - Kevins Formel gibt \(3\cdot2+1 = 6+1 = 7\) Würfel. Auch hier liefert Milenas Formel nicht die korrekte Anzahl der Würfel. Kevin's Formel ist korrekt, da 2 Segmente aus 6 Würfeln und einem Würfel oben bestehen, was insgesamt 7 Würfel ergibt. Aus diesen Überlegungen können wir schlussfolgern, dass beide Formeln nicht für beliebige Mauern korrekt sind. Kevins Formel ist jedoch für Mauern mit zwei oder mehr Segmenten korrekt, da sie die dreifache Anzahl der Segmente plus einen zusätzlichen Würfel für das oberste Element berücksichtigt. Milenas Formel hingegen scheint auf einem falschen Verständnis der Mauerstruktur zu beruhen, da sie mit jedem weiteren Segment um 2 Würfel erhöht anstatt 3, was nicht der tatsächlichen Struktur entspricht.
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