Example Question - continuity
Here are examples of questions we've helped users solve.
Piecewise Function Analysis
<p>Para analizar la función dada, vamos a considerar los dos casos.</p> <p>Para \( x > 1 \):</p> <p>\( f(x) = \frac{x^3 - a^3}{x - a} \)</p> <p>Este se puede simplificar usando la factorización de la diferencia de cubos:</p> <p>\( f(x) = \frac{(x - a)(x^2 + ax + a^2)}{x - a} = x^2 + ax + a^2 \) (para \( x \neq a \)).</p> <p>Para \( x < 1 \):</p> <p>\( f(x) = \frac{3\sqrt{x} - 3\sqrt{a}}{x - a} \)</p> <p>Podemos factorizar el numerador de la misma manera si es necesario para un análisis adicional.</p> <p>La continuidad de la función puede revisarse evaluando el límite de ambas ramas en \( x = 1 \) y comparando los valores de \( f(1) \) en ambas partes si se define.</p>
Calculus Problem Related to Limits and Continuity
由于图片中的文字不够清晰，我无法看清具体的数学问题和表达式。因此，提供准确解答的能力受到限制。如果你能提供更清晰的图片或者用文字描述问题，我会很乐意帮助解决数学问题。
Analysis of Piecewise Defined Function
La función \( f(x) \) está definida por partes y para resolver el problema es necesario analizar cada sección de la función según los valores de \( x \). 1. Para \( x \leq 2 \), la función es \( f(x) = x^2 - 3x + 6 \). 2. Para \( 2 < x < 5 \), la función es \( f(x) = \frac{1}{x - 2} \). 3. Para \( x \geq 5 \), la función es \( f(x) = 3x - 4 \). No se ha proporcionado una pregunta específica para resolver con respecto a esta función, pero según la función, podrías estar interesado en encontrar el límite de \( f(x) \) conforme \( x \) se acerca a 2 desde la izquierda y la derecha, evaluar la función en diferentes puntos, o quizás determinar su continuidad. Si tienes una pregunta específica sobre cómo evaluar esta función o realizar algún otro tipo de análisis, por favor proporciónala para que pueda orientarte con la respuesta correcta.
Finding Values for Continuity in a Piecewise Function
The image shows a mathematics question regarding a piecewise-defined function. The function \( f(x) \) is defined differently for different intervals of \( x \): \[ f(x) = \begin{cases} \log_3(3x + a) & , x < 1 \\ 3x & , x = 1 \\ \sqrt{x + b} & , x > 1 \end{cases} \] The question states that the function is continuous at \( x = 1 \) and asks for the values of \( a \) and \( b \). Continuity at \( x = 1 \) means that the left-hand limit as \( x \) approaches 1, the right-hand limit as \( x \) approaches 1, and the function's value at \( x = 1 \) must all be equal. Let's calculate these: 1. The left-hand limit as \( x \) approaches 1 is the limit of \( \log_3(3x + a) \) as \( x \) approaches 1 from the left: \[ \lim_{{x \to 1^-}} \log_3(3x + a) = \log_3(3 \cdot 1 + a) = \log_3(3 + a) \] 2. The function's value at \( x = 1 \) is given directly as \( f(1) = 3 \cdot 1 = 3 \). 3. The right-hand limit as \( x \) approaches 1 is the limit of \( \sqrt{x + b} \) as \( x \) approaches 1 from the right: \[ \lim_{{x \to 1^+}} \sqrt{x + b} = \sqrt{1 + b} \] For continuity at \( x = 1 \), we must have \( \log_3(3 + a) = 3 = \sqrt{1 + b} \). From here we can find the values of \( a \) and \( b \): \(\log_3(3 + a) = 3\) implies \(3^3 = 3 + a\), hence \( a = 27 - 3 = 24 \). \(\sqrt{1 + b} = 3\) implies \(1 + b = 3^2\), hence \( b = 9 - 1 = 8 \). Thus, \( a = 24 \) and \( b = 8 \).
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