Example Question - conditions
Here are examples of questions we've helped users solve.
Finding a Specific Number Based on Conditions
<p>Let the three-digit number be represented as \( xyz \), where \( x, y, z \) are its digits.</p> <p>According to the problem, if we append the digit 2 to the right of \( xyz \), we form the number \( xyz2 \).</p> <p>We require that \( xyz2 > 4106 \).</p> <p>Express \( xyz2 \) as \( 1000x + 100y + 10z + 2 \).</p> <p>Thus, we want to find \( 1000x + 100y + 10z + 2 > 4106 \).</p> <p>By simplifying, we have \( 1000x + 100y + 10z > 4104 \).</p> <p>Dividing through by 10 gives \( 100x + 10y + z > 410.4 \).</p> <p>Since \( 100x + 10y + z \) is an integer, it must be at least 411 for the condition to hold.</p> <p>Therefore, we need to find all three-digit combinations \( xyz \) such that \( 100x + 10y + z \geq 411 \).</p> <p>Based on the constraints of digit values from 0 to 9, we can deduce suitable values for \( x, y, z \).</p>
Method for Solving First Order Linear Differential Equations
<p>Las condiciones para aplicar el método para resolver ecuaciones lineales de primer orden son:</p> <p>- La ecuación debe tener la forma \( \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \), donde \( P(x) \) y \( Q(x) \) son funciones de \( x \).</p> <p>La ecuación dada está en la forma \( \frac{dy}{dx} - y = x \cdot sen(x) \), que es una ecuación lineal de primer orden.</p> <p>Identificamos \( P(x) = -1 \) y \( Q(x) = x \cdot sen(x) \).</p> <p>Para resolver la ecuación, primero encontramos el factor integrante:</p> <p>\( \mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{-\int dx} = e^{-x} \).</p> <p>Multipliquemos ambos lados de la ecuación por \( \mu(x) \) para obtener:</p> <p>\( e^{-x} \frac{dy}{dx} - e^{-x} y = x \cdot sen(x) \cdot e^{-x} \).</p> <p>La izquierda ahora es la derivada del producto de \( y \) y \( \mu(x) \):</p> <p>\( \frac{d}{dx}(e^{-x}y) = x \cdot sen(x) \cdot e^{-x} \).</p> <p>Integramos ambos lados respecto a \( x \):</p> <p>\( \int \frac{d}{dx}(e^{-x}y)dx = \int x \cdot sen(x) \cdot e^{-x} dx \).</p> <p>\( e^{-x}y = \int x \cdot sen(x) \cdot e^{-x} dx \).</p> <p>El lado derecho requiere integración por partes dos veces. Sea \( u = x \) y \( dv = sen(x) \cdot e^{-x} dx \), entonces \( du = dx \) y \( v = - cos(x) \cdot e^{-x} - \int -cos(x) \cdot e^{-x} dx \), donde la segunda integral también se calcula por partes.</p> <p>Por lo tanto, al resolver las integrales por partes, obtenemos:</p> <p>\( e^{-x}y = -x \cdot cos(x) \cdot e^{-x} + \int cos(x) \cdot e^{-x} dx - \int -cos(x) \cdot e^{-x} dx \).</p> <p>Resolviendo las integrales y simplificando, llegamos a:</p> <p>\( e^{-x}y = -x \cdot cos(x) \cdot e^{-x} + \text{(términos de la integración por partes)} \).</p> <p>Finalmente, despejamos \( y \):</p> <p>\( y = e^{x} \left( -x \cdot cos(x) \cdot e^{-x} + \text{(términos de la integración por partes)} \right) \).</p> <p>Este es el resultado general de \( y(x) \), sujeta a la simplificación de los términos resultantes de la integración por partes.</p>
Conditions for Solving First Order Linear Differential Equations
<p>Las condiciones necesarias para aplicar el método para resolver ecuaciones lineales de primer orden son:</p> <p>1. La ecuación debe ser lineal en la variable dependiente y su derivada.</p> <p>2. La ecuación puede escribirse en la forma \(\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\), donde \(P(x)\) y \(Q(x)\) son funciones de \(x\) solamente.</p> <p>La ecuación dada es \(\frac{dy}{dx} - y = x^{2}\sen(x)\). Esta ecuación es lineal en \(y\) y su derivada \(\frac{dy}{dx}\), y aunque parece que el término \(x^{2}\sen(x)\) depende de \(y\), en realidad está multiplicado por \(1\), lo que hace que sea una función de \(x\) solamente. Entonces, la ecuación se puede expresar en la forma deseada identificando \(P(x) = -1\) y \(Q(x) = x^{2}\sen(x)\).</p> <p>Resolvemos la ecuación utilizando el factor integrante \( \mu(x) = e^{\int P(x)dx} = e^{-\int dx} = e^{-x} \).</p> <p>Multiplicamos toda la ecuación por \(\mu(x)\): \(e^{-x}\frac{dy}{dx} - e^{-x}y = x^{2}e^{-x}\sen(x)\).</p> <p>La izquierda de la ecuación ahora es la derivada del producto de \( \mu(x) \) y \( y \), es decir, \( \frac{d}{dx}(e^{-x}y) \), entonces podemos escribirlo así:</p> <p>\(\frac{d}{dx}(e^{-x}y) = x^{2}e^{-x}\sen(x)\).</p> <p>Integramos ambos lados con respecto a \(x\): \(\int \frac{d}{dx}(e^{-x}y)dx = \int x^{2}e^{-x}\sen(x)dx\).</p> <p>El lado izquierdo se integra directamente a \( e^{-x}y \), y el lado derecho requiere integración por partes o una tabla de integrales. Sin embargo, esta integración no es trivial y no puede realizarse en un paso simple.</p> <p>Por último, se despeja \(y\) simplemente multiplicando ambos lados por \(e^{x}\) para obtener la solución final \(y(x)\).</p>
Matrix Multiplication Conditions
لكي نتمكن من ضرب مصفوفتين، يجب أن يكون عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى مساويًا لعدد الصفوف في المصفوفة الثانية. إذا كانت المصفوفة A هي مصفوفة بأبعاد 2 × 4، فهذا يعني أن لديها 4 أعمدة. لكي يكون الضرب غير ممكن (أي الجداء غير معرف)، يجب أن لا يكون عدد الصفوف في المصفوفة B مساويًا لعدد الأعمدة في المصفوفة A. بناءً على الخيارات المقدمة في الصورة، يمكننا استبعاد الخيار ب (2 × 3) لأن 3 ليست مساوية لـ 4 وهذا يعني أن المصفوفة B بأبعاد 2 × 3 ستكون مصفوفة بعددين من الصفوف وثلاثة من الأعمدة، والذي لا يتوافق مع شرط تعريف الضرب (الجداء) للمصفوفات حيث يجب أن يكون عدد الأعمدة في المصفوفة A مساويًا لعدد الصفوف في المصفوفة B. إذن، الإجابة الصحيحة هي: ب) 2 × 3
Solving Trigonometric Equation with Conditions in Given Range
이 방정식을 푸는 방법은 다음과 같습니다. 우리는 주어진 범위 내에서 방정식 sin(x) + √3 cos(x) = 1을 만족하는 x값을 찾아야 합니다. 우선, 방정식 양변에 cos(x)를 나누어서 식을 간단히 합니다. tan(x) + √3 = 1 / cos(x) 여기서, tan(x)는 sin(x)/cos(x)이므로 식을 다시 쓸 수 있습니다. (sin(x)/cos(x)) + √3 = 1/cos(x) 이제, 이 식을 cos(x)에 대한 이차방정식으로 재정리합니다. sin(x) + √3cos(x) = cos(x) 위 식을 다시 배열하면, sin(x) = (1 - √3)cos(x) 이제 삼각함수의 항등식을 이용하여 x 값을 찾을 수 있습니다. tan(x) = sin(x)/cos(x) = 1 - √3 우리는 주어진 범위 내에서 tan(x)가 1 - √3이 되는 x 값을 찾아야 합니다. 1 - √3은 음수 값이므로 우리는 tan(x)가 음수인 사분면을 고려해야 합니다. 이 경우 2사분면과 4사분면입니다. tan(x)의 주기는 π이므로, 우리는 이 범위 내에서 tan(x) = 1 - √3을 만족하는 각도 x를 찾기 위해 x를 π 단위로 증가시키면서 검사해야 합니다. 또한 tan(x)의 값이 음수가 되는 각도는 π/2 < x < π(2사분면)와 3π/2 < x < 2π(4사분면) 입니다. 하지만 주어진 범위는 -3π < x < 3π/2 이므로 우리는 2사분면과 4사분면에서 tan(x) = 1 - √3을 만족하는 x를 찾으면 됩니다. 따라서 주어진 범위 내에서 tan(x) = 1 - √3을 만족하는 x를 찾기 위해서는 arctan(1 - √3) 값을 구한 다음, 해당 값에 해당하는 각도가 주어진 범위 내에 있는지 확인해야 합니다. 허나 실제로 구하려는 값 tan(x) = 1 - √3는 표준 삼각함수의 값에 해당하지 않기 때문에, 이 식을 만족하는 정확한 각도 x를 찾기 위해서는 계산기나 수치적인 해법을 사용해야 합니다. 주어진 범위 내에서 이를 만족하는 x의 값을 찾아야 하며, 이 값이 실제로 그 범위에 들어맞는지 확인해야 합니다.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com