Comparing Fractions Exercise
Por supuesto, déjame ayudarte a resolver las comparaciones de fracciones del ejercicio 15. El enunciado pide colocar los símbolos "<" (menor que), ">" (mayor que) o "=" (igual que) según sea el caso. Para cada inciso, simplificaré las fracciones si es necesario y las compararé para determinar la relación correcta entre ellas. Empecemos:
a) \(\frac{7}{9}\ ?\ \frac{6}{8}\)
Simplificamos la fracción \(\frac{6}{8}\) dividiendo numerador y denominador entre 2 para obtener la fracción equivalente \(\frac{3}{4}\). Luego, para poder comparar \(\frac{7}{9}\) y \(\frac{3}{4}\), buscamos un denominador común. El mínimo común denominador para 9 y 4 es 36. Convertimos las fracciones a ese denominador común:
\(\frac{7}{9} = \frac{7 \times 4}{9 \times 4} = \frac{28}{36}\)
\(\frac{3}{4} = \frac{3 \times 9}{4 \times 9} = \frac{27}{36}\)
Comparando las fracciones, ahora con el mismo denominador:
\(\frac{28}{36} > \frac{27}{36}\)
Por ende, el símbolo correcto para el inciso a) es ">".
b) \(\frac{8}{13}\ ?\ \frac{7}{6}\)
Ambas fracciones están en su forma más simple. Vamos a cambiar ambas a un denominador común para compararlas. El mínimo común denominador para 13 y 6 es 78. Convertimos las fracciones a ese denominador común:
\(\frac{8}{13} = \frac{8 \times 6}{13 \times 6} = \frac{48}{78}\)
\(\frac{7}{6} = \frac{7 \times 13}{6 \times 13} = \frac{91}{78}\)
Comparando las fracciones, ahora con el mismo denominador:
\(\frac{48}{78} < \frac{91}{78}\)
Por lo tanto, el símbolo correcto para el inciso b) es "<".
c) \(\frac{9}{12}\ ?\ \frac{35}{48}\)
Podemos simplificar la fracción \(\frac{9}{12}\) dividiendo el numerador y el denominador entre 3 para obtener la fracción equivalente \(\frac{3}{4}\). Las fracciones \(\frac{3}{4}\) y \(\frac{35}{48}\) pueden ser comparadas directamente porque 48 es un múltiplo de 4. Convertimos la fracción con denominador 4 a una con denominador 48:
\(\frac{3}{4} = \frac{3 \times 12}{4 \times 12} = \frac{36}{48}\)
Comparando las fracciones, ahora con el mismo denominador:
\(\frac{36}{48} > \frac{35}{48}\)
Por lo tanto, el símbolo correcto para el inciso c) es ">".
d) \(\frac{4}{19}\ ?\ \frac{5}{13}\)
Estas fracciones ya están simplificadas. Los denominadores son números primos entre sí, así que no se pueden simplificar más. El mínimo común denominador para 19 y 13 es su producto, 247. Convertimos las fracciones a ese denominador común:
\(\frac{4}{19} = \frac{4 \times 13}{19 \times 13} = \frac{52}{247}\)
\(\frac{5}{13} = \frac{5 \times 19}{13 \times 19} = \frac{95}{247}\)
Comparando las fracciones, ahora con el mismo denominador:
\(\frac{52}{247} < \frac{95}{247}\)
Por lo tanto, el símbolo correcto para el inciso d) es "<".
e) \(\frac{24}{35}\ ?\ \frac{42}{56}\)
Simplificamos la fracción \(\frac{42}{56}\) dividiendo numerador y denominador entre 14 para obtener la fracción equivalente \(\frac{3}{4}\). No podemos simplificar \(\frac{24}{35}\), así que vamos a encontrar un denominador común para comparar estas fracciones. El mínimo común denominador para 35 y 4 es 140. Convertimos las fracciones a ese denominador común:
\(\frac{24}{35} = \frac{24 \times 4}{35 \times 4} = \frac{96}{140}\)
\(\frac{3}{4} = \frac{3 \times 35}{4 \times 35} = \frac{105}{140}\)
Comparando las fracciones, ahora con el mismo denominador:
\(\frac{96}{140} < \frac{105}{140}\)
Por lo tanto, el símbolo correcto para el inciso e) es "<".
