Solving for Radius of a Circle Using Completing the Square Method
Para resolver la pregunta en la imagen, la cual pide encontrar el radio de una circunferencia, debemos completar el cuadrado para los términos con \( x \) e \( y \) de la ecuación dada:
\( x^2 + y^2 + 4x + 4y - 17 = 0 \)
Primero, vamos a reorganizar los términos y agruparlos por variable:
\( x^2 + 4x + y^2 + 4y = 17 \)
Ahora, para completar el cuadrado, debemos encontrar dos números que al elevarlos al cuadrado y sumarlos a los términos en \( x \) e \( y \) nos permitan formar dos cuadrados perfectos. Para \( x \), el número es \( (4/2)^2 = 4 \), y para \( y \), es \( (4/2)^2 = 4 \). Sumamos estos números a ambos lados de la ecuación:
\( x^2 + 4x + 4 + y^2 + 4y + 4 = 17 + 4 + 4 \)
Al sumarlos nos queda:
\( (x + 2)^2 + (y + 2)^2 = 25 \)
La ecuación de una circunferencia con centro en \( (h, k) \) y radio \( r \) es \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \).
Comparando esta forma con nuestra ecuación:
\( (x + 2)^2 + (y + 2)^2 = 25 \)
Podemos ver que el centro de la circunferencia es \( (-2, -2) \) y que \( r^2 = 25 \). Tomando la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación \( r^2 = 25 \):
\( r = \sqrt{25} \)
\( r = 5 \)
Por lo tanto, el radio de la circunferencia es 5.
