Example Question - characteristic equation
Here are examples of questions we've helped users solve.
Solving Linear Homogeneous Differential Equations
Уравнение имеет вид линейного однородного дифференциального уравнения со стандартным решением через характеристическое уравнение. Чтобы найти общее решение данного дифференциального уравнения второго порядка, нам нужно сначала составить характеристическое уравнение. Данный вид уравнения соответствует общей форме: \[ y'' - ay' + by = 0 \] где \(a = 8\) и \(b = 16\). Подставляем значения \(a\) и \(b\) в характеристическое уравнение: \[ r^2 - ar + b = 0 \] \[ r^2 - 8r + 16 = 0 \] Решаем квадратное уравнение: \[ r^2 - 8r + 16 = (r - 4)^2 = 0 \] Отсюда следует, что мы имеем двукратный корень \(r = 4\). Когда характеристическое уравнение имеет кратные корни, общее решение дифференциального уравнения формируется следующим образом: \[ y = (C_1 + C_2x)e^{rx} \] где \(C_1\) и \(C_2\) - константы интегрирования, которые определяются из начальных условий задачи, если таковые имеются. Исходя из нашего кратного корня, общее решение данного уравнения будет: \[ y = (C_1 + C_2x)e^{4x} \] Это и есть искомое общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.
Solving Second Order Homogeneous Differential Equations with Constant Coefficients
Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Чтобы найти его решение, нам нужно сначала найти характеристическое уравнение, которое выглядит следующим образом: r^2 - 8r + 16 = 0 Теперь решим это квадратное уравнение: (r - 4)^2 = 0 Это уравнение имеет корень кратности два: r = 4. Поскольку у нас есть кратный корень, общее решение данного дифференциального уравнения будет комбинацией линейно-независимых решений вида: y(x) = C_1e^(4x) + C_2xe^(4x), где C_1 и C_2 — произвольные константы, определяемые начальными или граничными условиями задачи.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com