Example Question - asymptotes
Here are examples of questions we've helped users solve.
Analysis of Rational Function for Asymptotes and Domain
<p>To determine the domain of f(x), find the x-values for which the denominator is non-zero:</p> <p>\[ x^2 - 1 \neq 0 \]</p> <p>\[ (x + 1)(x - 1) \neq 0 \]</p> <p>\[ x \neq \pm1 \]</p> <p>Thus, the domain of f(x) is all real numbers except x = -1 and x = 1.</p> <p>Next, identify any vertical asymptotes by setting the denominator equal to zero:</p> <p>\[ x^2 - 1 = 0 \]</p> <p>\[ x = \pm1 \]</p> <p>Therefore, there are vertical asymptotes at x = -1 and x = 1.</p> <p>To find horizontal asymptotes, examine the degrees of the numerator and denominator. Since the degree of the numerator (2) is the same as the degree of the denominator (2), compute the ratio of the leading coefficients:</p> <p>\[ \lim_{{x \to \pm\infty}} \frac{3x^2}{x^2-1} = 3 \]</p> <p>There is a horizontal asymptote at y = 3.</p> <p>Lastly, analyze the behavior of the function near the asymptotes. As x approaches 1 or -1 from the left or right, the function f(x) diverges to positive or negative infinity, depending on the direction of approach. The function approaches the horizontal asymptote y = 3 as x approaches plus or minus infinity.</p>
Graphing a Cotangent Function
<p>To graph \( y = 2\cot(2x) \), we need to identify the properties of the cotangent function, including its period, phase shift, amplitude, and asymptotes.</p> <p>The basic cotangent function has the form \( y = \cot(x) \) with vertical asymptotes at \( x = k\pi \) where \( k \) is an integer, since cotangent is undefined when sine is 0, which happens at these points. The period of the cotangent function is \( \pi \), meaning it repeats every \( \pi \) units.</p> <p>For \( y = 2\cot(2x) \), the period is \( \frac{\pi}{b} \), where \( b \) is the coefficient of \( x \), which is 2 in this case. Thus, the period of this function is \( \frac{\pi}{2} \). This means that vertical asymptotes occur at points \( x = \frac{k\pi}{2} \) for integer \( k \).</p> <p>The amplitude, normally affecting the height of the peaks in sine and cosine functions, doesn't apply to the cotangent function as it goes to infinity at the asymptotes.</p> <p>The graph will oscillate between the asymptotes and will have a point of symmetry at \( x = \frac{k\pi}{2} \) for odd \( k \). You can plot key points by evaluating \( y = 2\cot(2x) \) at various \( x \) values, bearing in mind that cotangent is the reciprocal of tangent.</p> <p>Some points to consider for one period of the function starting from \( x = 0 \) up to \( x = \frac{\pi}{2} \) would include the undefined points where vertical asymptotes occur (at \( x = 0 \) and \( x = \frac{\pi}{2} \)) and a point of intersection on the x-axis at \( x = \frac{\pi}{4} \) where \( \cot(\frac{\pi}{2}) = 0 \).</p> <p>Now you can sketch the graph using the asymptotes at \( x = 0 \) and \( x = \frac{\pi}{2} \), the x-axis intersection at \( x = \frac{\pi}{4} \), and the fact that the cotangent function decreases as \( x \) increases within each period.</p>
Understanding a Function's Graph
La imagen muestra la gráfica de una función f(x) que está definida como: \[ f(x) = \frac{x}{x^2 - 8x + 16} \] Para comprender la gráfica, primero debemos simplificar y entender la expresión algebraica dada. Observa que el denominador \( x^2 - 8x + 16 \) es un trinomio cuadrado perfecto que se puede factorizar como \((x - 4)^2\). Así que la función se puede reescribir como: \[ f(x) = \frac{x}{(x - 4)^2} \] Dado que la gráfica de la función ya está dada en la imagen, describiremos las características más importantes: 1. La función tiene una asíntota vertical en x = 4, que es el valor para el cual el denominador se hace cero y la función se indefine. En el gráfico se observa que la función crece indefinidamente a medida que x se aproxima a 4 desde la izquierda y decrece indefinidamente a medida que x se aproxima a 4 desde la derecha. 2. La función tiene una asíntota horizontal en y = 0 cuando x tiende a infinito o a menos infinito, ya que el grado del polinomio en el denominador es mayor que el grado del numerador. La gráfica se aproxima a la línea y = 0 pero nunca la toca. 3. La función cruza el eje de las ordenadas (eje y) en el punto (0, 0), ya que f(0) = 0. 4. La función es positiva para valores de x menores que 4 y mayores que 4, esto es reflejado por el hecho de que la gráfica está por encima del eje x en esos intervalos. 5. La función es simétrica respecto al eje y porque el numerador es x (una función impar) y el denominador es una función par ((x - 4)^2). Esto resulta en una función impar, lo que explica por qué la gráfica es simétrica respecto al origen. Si tienes alguna otra pregunta específica sobre la gráfica o la función, no dudes en preguntar.
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