Polynomial Operations and Division
Dưới đây là phần giải các câu hỏi trong hình:
**Bài 13:**
a) Ta cần tính \( M(x) = A(x) + B(x) - C(x) \).
Ta có:
\( A(x) = -8x^4 + 2x^3 + 5x^2 \),
\( B(x) = 10x^4 + 2x^2 - 7x \),
\( C(x) = x^4 + 2x^3 + 5x^2 + 3x - 6 \).
Khi đó, \( M(x) \) sẽ là tổng của \( A(x) \) và \( B(x) \) trừ đi \( C(x) \):
\( M(x) = (-8x^4 + 2x^3 + 5x^2) + (10x^4 + 2x^2 - 7x) - (x^4 + 2x^3 + 5x^2 + 3x - 6) \).
Sau khi cộng và trừ hợp lý, ta được:
\( M(x) = (-8x^4 + 10x^4 - x^4) + (2x^3 - 2x^3) + (5x^2 + 2x^2 - 5x^2) + (0 - 7x - 3x) - (-6) \),
\( M(x) = x^4 - 10x + 6 \).
b) Ta tiếp tục tính \( N(x) = A(x) - B(x) - C(x) \):
\( N(x) = A(x) - [B(x) + C(x)] \),
\( N(x) = (-8x^4 + 2x^3 + 5x^2) - [(10x^4 + 2x^2 - 7x) + (x^4 + 2x^3 + 5x^2 + 3x - 6)] \),
Sau khi trừ hợp lý, ta được:
\( N(x) = (-8x^4 - 10x^4 - x^4) + (2x^3 - 2x^3) + (5x^2 - 2x^2 - 5x^2) + (0 + 7x - 3x) + 6 \),
\( N(x) = -19x^4 - 3x + 6 \).
**Bài 14:**
a) Ta cần tìm thương \( Q(x) \) và số dư \( R(x) \) trong phép chia \( A(x) \) cho \( B(x) \).
Ta có:
\( A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x) \) với \( R(x) \) có bậc nhỏ hơn bậc \( B(x) \),
\( A(x) = 12x^4 + 10x^3 - x - 3 \), \( B(x) = 3x^2 + x + 1 \).
Vì bậc của số dư \( R(x) \) phải nhỏ hơn 2 (bậc của \( B(x) \)), nên \( R(x) \) có dạng là \( ax + b \). Ta sẽ thực hiện phép chia đa thức như phép chia số thông thường để tìm \( Q(x) \) và \( R(x) \).
b) Ta cần tìm số m để đa thức \( 2x^4 - 9x^2 - 9x + m \) chia hết cho đa thức \( 3x - 1 \).
Để \( 2x^4 - 9x^2 - 9x + m \) chia hết cho \( 3x - 1 \), thì khi thay \( x = \frac{1}{3} \) vào đa thức \( 2x^4 - 9x^2 - 9x + m \) phải cho kết quả là 0 (do \( 3x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \)).
Ta thay \( x = \frac{1}{3} \) vào đa thức:
\( 2\left(\frac{1}{3}\right)^4 - 9\left(\frac{1}{3}\right)^2 - 9\left(\frac{1}{3}\right) + m = 0 \),
Tính toán để tìm \( m \):
\( \frac{2}{81} - \frac{9}{9} - \frac{9}{3} + m = 0 \),
\( m = 1 + 3 - \frac{2}{81} \),
\( m = 4 - \frac{2}{81} \).
Làm tròn:
\( m = \frac{324}{81} - \frac{2}{81} \),
\( m = \frac{322}{81} \).
Vậy \( m = \frac{322}{81} \) để đa thức \( 2x^4 - 9x^2 - 9x + m \) chia hết cho \( 3x - 1 \).
