Question - Volume of Solid of Revolution Using Disk Method
Solution:
Para resolver este problema utilizando el método del disco, primero necesitamos encontrar los límites de integración. Esto se hace al resolver la intersección de las dos curvas dadas $$ y = x^2 $$ y $$ y = x^3 $$. Igualando las dos ecuaciones tenemos:\[ x^2 = x^3 \]Simplificando esto, obtenemos:\[ x^2 - x^3 = 0 \]\[ x^2(1 - x) = 0 \]Esto nos da dos soluciones para cuando las curvas se intersecan:\[ x = 0 \]\[ x = 1 \]Ahora, vamos a calcular el volumen del sólido de revolución generado al girar la región acotada alrededor del eje X. Para el método de discos, la fórmula para calcular el volumen de un disco delgado es:\[ V = \pi \int_{a}^{b} [R(x)]^2 dx \]donde $$ R(x) $$ es el radio de un disco perpendicular al eje de revolución (en este caso, el eje X) en el punto x, y $$ a $$ y $$ b $$ son los límites de integración.Notamos que el radio del disco para nuestro problema será la diferencia entre las dos funciones (la función superior menos la función inferior), así que:\[ R(x) = x^3 - x^2 \]Al elevar al cuadrado el radio, obtenemos:\[ [R(x)]^2 = (x^3 - x^2)^2 \]\[ [R(x)]^2 = x^6 - 2x^5 + x^4 \]Entonces, el volumen será:\[ V = \pi \int_{0}^{1} (x^6 - 2x^5 + x^4) dx \]Ahora integramos término por término:\[ V = \pi \left[ \frac{x^7}{7} - \frac{2x^6}{6} + \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} \]Al evaluar los límites de integración, tenemos:\[ V = \pi \left[ \left(\frac{1^7}{7} - \frac{2 \cdot 1^6}{6} + \frac{1^5}{5}\right) - \left(\frac{0^7}{7} - \frac{2 \cdot 0^6}{6} + \frac{0^5}{5}\right) \right] \]Simplificado, esto nos da:\[ V = \pi \left[ \frac{1}{7} - \frac{2}{6} + \frac{1}{5} \right] \]\[ V = \pi \left[ \frac{1}{7} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} \right] \]\[ V = \pi \left[ \frac{5 - 35 + 7}{105} \right] \]\[ V = \pi \left[ \frac{-23}{105} \right] \]Ya que estamos hablando de áreas y volúmenes, el valor negativo conceptualmente no tiene sentido, entonces lo convertimos a valor absoluto para reflejar la magnitud del volumen:\[ V = \frac{23\pi}{105} \]Por lo tanto, el volumen del sólido de revolución es $$ \frac{23\pi}{105} $$ unidades cúbicas.
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