Question - Second Derivative of a Complicated Function
Solution:
Câu hỏi yêu cầu tìm đạo hàm cấp hai của hàm số $$ y = \frac{x + 3}{2x - 1} - \frac{1}{\sin x} $$.Đầu tiên, chúng ta cần tìm đạo hàm cấp một của hàm số này.Đạo hàm của hàm số $$ y = \frac{x + 3}{2x - 1} $$ sử dụng quy tắc của hàm phân thức (quy tắc chia) là:$$ y' = \frac{(2x - 1)\cdot1 - (x + 3)\cdot2}{(2x - 1)^2} = \frac{-x - 5}{(2x - 1)^2} $$Đạo hàm của hàm số $$ y = -\frac{1}{\sin x} $$ là:$$ y' = -\frac{\cos x}{(\sin x)^2} $$ sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm lượng giác kết hợp với quy tắc chung về đạo hàm của hàm phân thức.Tiếp theo, để tìm đạo hàm cấp hai, ta tiếp tục lấy đạo hàm của $$ y' $$:Đối với phần $$ \frac{-x - 5}{(2x - 1)^2} $$, đạo hàm cấp hai sẽ là:$$ y'' = \frac{\begin{bmatrix}(2x - 1)^2\cdot(-1) - (-x - 5)\cdot2\cdot2\cdot(2x - 1)\end{bmatrix}}{(2x - 1)^4} $$$$ y'' = \frac{- (2x - 1)^2 + 4(x + 5)(2x - 1)}{(2x - 1)^4} $$$$ y'' = \frac{- (2x - 1)^2 + 8x^2 + 36x - 20}{(2x - 1)^4} $$$$ y'' = \frac{4x^2 + 36x - 18}{(2x - 1)^4} $$Đối với phần $$ -\frac{\cos x}{(\sin x)^2} $$, đạo hàm cấp hai sẽ là:$$ y'' = -\frac{\begin{bmatrix}(-\sin x)(\sin x)^2 - (\cos x)\cdot2\cdot(\sin x)\cdot\cos x\end{bmatrix}}{(\sin x)^4} $$$$ y'' = -\frac{-(\sin x)^3 - 2(\cos x)^2\cdot(\sin x)}{(\sin x)^4} $$$$ y'' = -\frac{-(\sin x)^3 - 2(1 - (\sin x)^2)(\sin x)}{(\sin x)^4} $$$$ y'' = -\frac{-(\sin x)^3 - 2\sin x + 2(\sin x)^3}{(\sin x)^4} $$$$ y'' = -\frac{(sin x)^3 + 2(\sin x)^3 -2\sin x}{(\sin x)^4} $$$$ y'' = -\frac{3(\sin x)^3 -2\sin x}{(\sin x)^4} $$$$ y'' = -\frac{3\sin x - 2}{(\sin x)^3} $$Cuối cùng, ta cộng đạo hàm cấp hai của hai phần lại với nhau:$$ y'' = \frac{4x^2 + 36x - 18}{(2x - 1)^4} - \frac{3\sin x - 2}{(\sin x)^3} $$Đó là đạo hàm cấp hai của hàm số ban đầu.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com