Question - Proving Divisibility of Numbers Represented as 5-Step Staircases
Solution:
In diesem Bild fragt die Aufgabe, wie man zeigen kann, dass jede als 5er-Treppe darstellbare Zahl sich durch 5 teilen lässt. Eine als 5er-Treppe darstellbare Zahl ist eine Zahl, die man als Summe der ersten n fünffachen Zahlen ausdrücken kann, also eine Summe wie 5 + 10 + 15 + ... + 5n.Ikonsich:Das bedeutet die grafische Darstellung. Stelle dir vor, wir bauen eine Treppe, bei der jede Stufe 5 Einheiten breit ist. Für die erste Stufe brauchst du 5 Einheiten, für die zweite Stufe 10 (weil sie doppelt so hoch ist wie die erste), für die dritte 15, und so weiter. Die Gesamtheit aller Einheiten, die du brauchst, um diese Treppe mit n Stufen zu bauen, ist die als 5er-Treppe darstellbare Zahl. Da jede Stufe ein Vielfaches von 5 ist, und die Summe von Vielfachen von 5 wieder ein Vielfaches von 5 ist, ist offensichtlich, dass die Gesamtzahl der Einheiten (die Gesamtsumme) durch 5 teilbar ist.Symbolisch:Wir zeigen dies mathematisch durch eine Formel. Die Summe der ersten n fünffachen Zahlen ist die Summe einer arithmetischen Reihe mit dem Startwert a_1 = 5 und der Differenz d = 5 zwischen den Folgetermen. Die Summenformel für eine arithmetische Reihe lautetS_n = n/2 * (2a_1 + (n - 1)d),wobei S_n die Summe der ersten n Terme der Reihe ist. In unserem Fall ist a_1 = 5 und d = 5, also:S_n = n/2 * (2*5 + (n - 1)*5)S_n = n/2 * (10 + 5n - 5)S_n = n/2 * (5n + 5)S_n = n/2 * 5 * (n + 1).Da n/2 * 5 * (n + 1) offensichtlich ein Vielfaches von 5 ist (wegen des Faktors 5 in der Gleichung), kann jede als 5er-Treppe darstellbare Zahl durch 5 geteilt werden.
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