Question - Properties of Staircase Numbers
Solution:
Die Frage im Bild beinhaltet zwei Teilaufgaben:a. Treppenzahlen mit einer ungeraden Anzahl an Stufen haben mindestens einen ungeraden Teiler.b. Treppenzahlen mit einer geraden Anzahl an Stufen haben mindestens einen ungeraden Teiler.Wir sollen mit Hilfe einer Skizze (ikonisch) begründen, warum die Treppenzahlen die jeweilige Eigenschaft haben.Zunächst müssen wir verstehen, was Treppenzahlen sind. Treppenzahlen sind die Summen der natürlichen Zahlen von 1 bis n. Diese kann man visuell darstellen, indem man eine Treppe bildet, bei der die Stufenanzahl von oben nach unten jeweils um 1 zunimmt.Eine Treppenzahl ist die Summe der ersten n natürlichen Zahlen und wird auch als Dreieckszahl bezeichnet. Die n-te Treppenzahl kann mit der Formel $$\frac{n \cdot (n+1)}{2}$$ berechnet werden.a. Für ungerade Stufenanzahlen wäre n ungerade. Wenn n ungerade ist, ist n+1 gerade, aber durch 2 geteilt ergibt sich trotzdem eine ganze Zahl, da ein Faktor ungerade ist. Deshalb hat die Treppenzahl mindestens den ungeraden Teiler n.b. Für gerade Stufenanzahlen ist n gerade. Wenn n gerade ist, ist n+1 ungerade. Da man eine gerade Zahl (n) durch 2 teilen kann, bleibt am Ende ein ungerades Produkt übrig, da n+1 ungerade ist und durch 2 nicht weiter teilbar ist. Somit hat auch hier die Treppenzahl mindestens den ungeraden Teiler n+1.Um dies ikonisch zu zeigen, kann man eine Treppe mit einer ungeraden oder geraden Anzahl von Stufen zeichnen und die Summe oder die Produkte hervorheben, die zeigen, dass ein ungerader Teiler existiert. Leider kann ich im Moment keine Skizze erstellen, aber du kannst dir vorstellen, wie eine solche Treppe aussieht und die entsprechenden Teile entsprechend markieren.
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