Question - Pattern Recognition with Matchsticks
Solution:
Die Aufgabe bezieht sich auf eine Zahlenfolge, die durch Grafiken dargestellt wird, die aus Streichhölzern gebaut sind. Jede Grafik repräsentiert eine Figur in der Sequenz für n = 1, n = 2, n = 3, und n = 4. Sie werden aufgefordert, ein Muster zu erkennen und die Anzahl der Streichhölzer für die sechste Figur zu bestimmen und eine rekursive Vorschrift anzugeben.Zuerst sollten wir die Anzahl der Streichhölzer für die gegebenen Figuren ermitteln:n = 1: Wir haben ein Quadrat, das aus 4 Streichhölzern besteht.n = 2: Wir haben ein größeres Quadrat mit einem kleineren Quadrat in der Mitte, zusammengesetzt aus 4 + 8 = 12 Streichhölzern.n = 3: Wir haben ein noch größeres Quadrat mit zwei kleineren Quadraten darin, zusammengesetzt aus 12 + 12 = 24 Streichhölzern.n = 4: Hier haben wir das größte Quadrat mit drei kleineren Quadraten darin, was insgesamt 24 + 16 = 40 Streichhölzern ergibt.Nun wollen wir die Anzahl der Streichhölzer pro Figur und die Veränderung von einer Figur zur nächsten bestimmen:Von n = 1 zu n = 2 haben wir eine Zunahme von 8 Streichhölzern.Von n = 2 zu n = 3 haben wir eine Zunahme von 12 Streichhölzern.Von n = 3 zu n = 4 haben wir eine Zunahme von 16 Streichhölzern.Die Zunahme der Streichholzanzahl folgt einer Sequenz, bei der in jedem Schritt 4 Streichhölzer mehr benötigt werden als im vorherigen Schritt.Um die Anzahl der Streichhölzer für n = 6 zu berechnen, setzen wir das Muster fort:Von n = 4 zu n = 5 wäre die Zunahme 16 + 4 = 20 Streichhölzer.Von n = 5 zu n = 6 wäre die Zunahme 20 + 4 = 24 Streichhölzer.Also hätten wir für n = 5: 40 + 20 = 60 Streichhölzer.Und für n = 6 hätten wir dann: 60 + 24 = 84 Streichhölzer.Für die rekursive Vorschrift können wir die Anzahl der Streichhölzer als Funktion von n ausdrücken. Die rekursive Formel für die Anzahl der Streichhölzer $$ s(n) $$ könnte wie folgt aussehen:$$ s(1) = 4 $$ (Basisfall)$$ s(n) = s(n - 1) + 4n $$ (Rekursion, für $$ n > 1 $$)In Worten bedeutet das: Um die Anzahl der Streichhölzer für eine beliebige Figur n zu bestimmen, nehmen wir die Anzahl der Streichhölzer der vorherigen Figur $$ n - 1 $$ und fügen 4 multipliziert mit n hinzu.
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