Question - Pattern Recognition in Figure Points
Solution:
Diese Übung scheint sich mit einer Mustererkennung und der Bildung eines allgemeinen Terms zur Beschreibung der Anzahl der Punkte in jeder Figur zu befassen. a) Wir sehen, dass bei jeder Figur die Anzahl der Punkte nach einem bestimmten Muster zunimmt. Für n=1 gibt es 1 Punkt; für n=2 gibt es 3 Punkte; für n=3 gibt es 6 Punkte; für n=4 gibt es 10 Punkte. Wenn wir uns die Differenzen zwischen den aufeinanderfolgenden Figuren anschauen, ist die Differenz der Punkte 2 zwischen n=1 und n=2 (1 zu 3), 3 zwischen n=2 und n=3 (3 zu 6), und 4 zwischen n=3 und n=4 (6 zu 10). Dies legt nahe, dass jede zusätzliche Figur (also der Übergang von n zu n+1) eine Anzahl von Punkten hinzufügt, die gleich der Zahl der Figur ist (also für Figur n=5 wären es 5 zusätzliche Punkte). Basierend auf diesem Muster können wir die Anzahl der Punkte für die 4., 10. und 50. Figur berechnen, indem wir die Summenformel für die ersten n natürlichen Zahlen verwenden, da das Muster den Dreieckszahlen entspricht: Summe der ersten n natürlichen Zahlen: $$ S = \frac{n(n + 1)}{2} $$ Für die 4. Figur (n=4) wäre es:$$ S_4 = \frac{4(4 + 1)}{2} = \frac{4 \times 5}{2} = \frac{20}{2} = 10 $$ PunkteFür die 10. Figur (n=10):$$ S_{10} = \frac{10(10 + 1)}{2} = \frac{10 \times 11}{2} = \frac{110}{2} = 55 $$ PunkteFür die 50. Figur (n = 50):$$ S_{50} = \frac{50(50 + 1)}{2} = \frac{50 \times 51}{2} = \frac{2550}{2} = 1275 $$ Punkte b) Die Veränderung der Anzahl der Punkte ist progressiv; sie wächst im Gleichschritt mit der Positionsnummer der Figur. Das Muster entspricht den Dreieckszahlen, wobei jede zusätzliche Figur eine Anzahl von Punkten hinzufügt, die gleich der Positionsnummer dieser Figur ist. Mit anderen Worten, jede Figur hat einen Punkt mehr als die vorherige Figur plus die Anzahl der zusätzlichen Punkte, die der Positionszahl entsprechen.c) Der zu bestimmende Term, der die Anzahl der Punkte (P) in Abhängigkeit von der Positionszahl (n) beschreibt, ist:$$ P_n = \frac{n(n + 1)}{2} $$Dieser Term gibt uns die Anzahl der Punkte für jede Figurnummer (n), was wir bereits in Teil a) angewendet haben.
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