Question - Number Pyramid Patterns
Solution:
Die Frage aus dem Bild lautet:"Wenn man keine 1 verwenden darf, welche Zahlen können dann am obersten Stein stehen? Welche nicht? (Warum kann z.B. oben keine 30 stehen?)a) Welche unterschiedlichen Zahlenmuster ohne 1 haben eine 100 an der Spitze?b) Zu welchen Zahlen an der Spitze gibt es unterschiedliche Zahlenmuster? (Gespiegelte zählen nicht als unterschiedlich.)c) Welches ist die kleinste Zahl, die an der Spitze steht, wenn in der Zahlenmauer nur verschiedene Zahlen (wieder außer der 1) stehen dürfen?"Da es hier um eine Zahlenmauer geht, gehe ich davon aus, dass die Zahlen im Mauerwerk so aufgebaut sind, dass jeder "Stein" oder Block die Summe der zwei Steine direkt darunter ist. Beginnend mit der untersten Reihe summiert sich jede Zahl bis zur Spitze der Pyramide. Man kann jede Zahl als Summe der Zahlen in der Zeile darunter beschreiben, und jede Zahl der darunter liegenden Zeile ist wiederum die Summe der zwei darunter liegenden Zahlen.a) Die oberste Zahl in der Pyramide ist die Summe der zwei Zahlen in der Reihe darunter. Wenn die oberste Zahl 100 sein soll und man keine 1 verwenden darf, müssen die Zahlen darunter 50 und 50 sein, denn 50 + 50 = 100. Das ergibt ein Zahlenmuster, da keine anderen Zahlenkombinationen ohne die Zahl 1 möglich sind, die zu 100 addiert werden können.b) Bei dieser Aufgabe müssen wir überlegen, welche Zahlen sich in unterschiedlicher Weise als Summe darstellen lassen. Nehmen wir zum Beispiel die Zahl 6. Sie kann als Summe von 2 + 4 oder 3 + 3 dargestellt werden. Für die Spitze der Pyramide würde das bedeuten, dass es zwei unterschiedliche Zahlenmuster gibt, um die Zahl 6 zu erreichen (wenn wir die Zahlen in der untersten Zeile variieren). Solche Zahlen sind also Zahlen, die sich als Summe von mindestens zwei verschiedenen Paaren positiver ganzer Zahlen ohne die Zahl 1 zusammensetzen lassen. Hierbei sollen gespiegelte Muster nicht als unterschiedlich gelten.c) Die kleinste Zahl, die an der Spitze stehen kann, wenn nur verschiedene Zahlen verwendet werden dürfen, wäre 3, da 2 die nächstkleinste Zahl nach 1 ist und wir kein Paar aus gleichen Zahlen verwenden dürfen. Da auch 2 und 3 als Zahlenpaar nicht verwendet werden können (würden insgesamt nur 5 ergeben), wäre die nächste Kombination 2 und 4, was insgesamt 6 ergibt. Folglich ist 6 die kleinste Zahl, die unter diesen Bedingungen Spitzenreiter der Zahlenmauer sein kann.
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