Question - Investigating 'Fünfertreppe' Numbers in Sequences of Squares
Solution:
Die Behauptung in dem Bild lautet, dass jede fünfte Zahl ab $$1$$ wie eine "Fünfertreppe" ist, also eine Treppe aus fünf Stufen, und dies ist der ikonische Beweis. Wir sollen überprüfen, ob diese Aussage stimmt.Um dies zu verifizieren, betrachten wir die Struktur der Treppe. Die Idee ist, dass jede Fünfertreppe aus einer Anzahl von Blöcken besteht, die eine Quadratzahl ist. Das bedeutet, dass die Gesamtzahl der Blöcke, die benötigt werden, um eine Treppe mit $$n$$ Stufen zu konstruieren, $$1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2$$ ist. Für eine Fünfertreppe, mit $$n = 5$$, müssen wir die Summe der ersten fünf Quadratzahlen bilden:\[1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55.\]Da $$55$$ durch $$5$$ teilbar ist, haben wir eine "Fünfertreppe". Wenn wir von jeder weiteren fünften Zahl ausgehen, würde die nächste "Fünfertreppe" aus sechs Stufen bestehen, was uns bringen würde:\[1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 = 55 + 36 = 91.\]Die Zahl $$91$$ ist keine Quadratzahl, aber die Aussage besagt nur, dass jede fünfte Zahl eine "Fünfertreppe" darstellt, was bedeutet, dass jede fünfte Zahl mit dieser Eigenschaft eine Summe von fünf aufeinander folgenden Quadratzahlen ist.Wenn wir das Muster fortsetzen, finden wir, dass die Summe der Quadrate für jede "Fünfertreppe" wie folgt ist:- Für $$n = 1$$: $$1^2 = 1$$- Für $$n = 2$$: $$1^2 + 2^2 = 5$$- Für $$n = 3$$: $$1^2 + 2^2 + 3^2 = 14$$ (nicht durch 5 teilbar)- Für $$n = 4$$: $$1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 30$$- Für $$n = 5$$: $$1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 55$$- Und so weiter.Das Muster zeigt, dass nicht jede fünfte Zahl nach $$1$$ eine perfekte "Fünfertreppe" bildet. Stattdessen sind es bestimmte Zahlen in der Sequenz der Summen von Quadratzahlen, die diesen Bedingungen entsprechen. Also stimmt die Aussage nicht vollständig.Die Aussage im Bild ist also teilweise wahr, da einige Zahlen - insbesondere $$5$$ und $$55$$ - eine Fünfertreppe darstellen können, aber sie gilt nicht für alle fünften Zahlen allgemein, wenn die Sequenz kontinuierlich mit der Hinzufügung weiterer Quadratzahlen fortgesetzt wird.
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