Question - High School Mathematics Problem
Solution:
题目要求求函数 \( f(x) = (1-|x|)(e^x + e^{-x}) \) 的最大值。解答此题我们需要先找出函数的驻点，然后确定该点是否为最大值点。
首先，计算 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) \)：
\[ f'(x) = \begin{cases} \frac{d}{dx}((1-x)(e^x + e^{-x})), & \text{if } x > 0 \\ \frac{d}{dx}((1+x)(e^x + e^{-x})), & \text{if } x < 0 \end{cases} \]当 \( x > 0 \) 时：
\[ f'(x) = -e^x - e^{-x} + (1-x)(e^x - e^{-x}) = -2e^{-x} + (1-x)2e^{-x} = (1-3x)e^{-x} \]当 \( x < 0 \) 时：
\[ f'(x) = e^x + e^{-x} + (1+x)(e^x - e^{-x}) = 2e^x + (1+x)2e^{-x} = (3+3x)e^x \]找出 \( f'(x) = 0 \) 的点：
\[ \text{当} x > 0, (1-3x)e^{-x} = 0 \Rightarrow 1-3x = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \] \[ \text{当} x < 0, (3+3x)e^x = 0 \Rightarrow 3+3x = 0 \Rightarrow x = -1 \]现在我们有两个驻点 \( x = \frac{1}{3} \) 和 \( x = -1 \)。我们需要确定这两点的函数值，并比较它们与 \( f(0) \) 处的函数值，因为 \( f(x) \) 在 \( x=0 \) 时是连续且可导的，而且 \( f(x) \) 在 \( x=0 \) 时可能有极值。
计算 \( f(\frac{1}{3}) \), \( f(-1) \), 和 \( f(0) \)：
\[ f(\frac{1}{3}) = (1-|\frac{1}{3}|)(e^\frac{1}{3} + e^{-\frac{1}{3}}) = \frac{2}{3}(e^\frac{1}{3} + e^{-\frac{1}{3}}) \] \[ f(-1) = (1-|-1|)(e^{-1} + e^{1}) = 0 \] \[ f(0) = (1-|0|)(e^0 + e^{0}) = 2 \]比较各个值，可以看出 \( f(0) = 2 \) 是所有计算出来值中的最大值。
所以，函数 \( f(x) = (1-|x|)(e^x + e^{-x}) \) 的最大值为 \( f(0) = 2 \)。
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