Question - Finding the Inverse of a Function
Solution:
1. Start with the function \( f(x) = \frac{x + 3}{x - 1} \).
2. Replace \( f(x) \) with \( y \): \( y = \frac{x + 3}{x - 1} \).
3. Swap \( x \) and \( y \): \( x = \frac{y + 3}{y - 1} \).
4. Multiply both sides by \( y - 1 \): \( x(y - 1) = y + 3 \).
5. Distribute: \( xy - x = y + 3 \).
6. Rearrange to solve for \( y \): \( xy - y = x + 3 \).
7. Factor out \( y \): \( y(x - 1) = x + 3 \).
8. Divide by \( x - 1 \): \( y = \frac{x + 3}{x - 1} \).
9. Therefore, the inverse function is \( f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{x - 1} \).
Tutor Solution:
Para determinar la inversa de la función dada \( f(x) = \frac{x + 3}{x - 1} \), seguimos un proceso paso a paso.
**Paso 1: Reemplazar \( f(x) \) por \( y \)**
Primero, cambiamos la notación de \( f(x) \) a \( y \) para facilitar nuestro trabajo. Así, podemos escribir:
\[ y = \frac{x + 3}{x - 1} \]**Paso 2: Intercambiar \( x \) y \( y \)**
La función inversa se obtiene intercambiando \( x \) y \( y \). Por lo tanto, escribimos:
\[ x = \frac{y + 3}{y - 1} \]**Paso 3: Despejar \( y \)**
Ahora, tenemos que despejar \( y \) en función de \( x \). Para hacerlo, comenzamos multiplicando ambos lados por \( y - 1 \) para eliminar la fracción:
\[ x(y - 1) = y + 3 \] Esto se convierte en: \[ xy - x = y + 3 \]**Paso 4: Agrupar términos**
Aislemos \( y \) en un lado de la ecuación. Restamos \( y \) de ambos lados:
\[ xy - y = x + 3 \] Factorizamos \( y \) del lado izquierdo: \[ y(x - 1) = x + 3 \]**Paso 5: Despejar \( y \)**
Finalmente, despejamos \( y \) dividiendo ambos lados por \( (x - 1) \):
\[ y = \frac{x + 3}{x - 1} \]**Paso 6: Escribir la función inversa**
La función inversa se escribe como:
\[ f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{x - 1} \]**Verificación de la solución**
Para verificar que esta es la función inversa, podemos comprobar que \( f(f^{-1}(x)) = x \) y \( f^{-1}(f(x)) = x \).
Este proceso nos muestra cómo encontrar la función inversa, ayudando a entender la relación entre la función y su inversa a través de pasos claros y lógicos.
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