Question - Determining the Number of Cards for a Card House
Solution:
a. Um die Anzahl der Karten zu bestimmen, die benötigt werden, um dieses Kartenhaus zu bauen, können wir zwei unterschiedliche Zählstrategien anwenden:Erste Strategie - Schichten zählen:- Auf der untersten Schicht gibt es eine Basis aus 6 Karten (3 stehende und 3 liegende Karten).- Auf der zweiten Schicht gibt es eine Basis aus 2 stehenden und 2 liegenden Karten.- Auf der obersten Schicht gibt es nur eine stehende und eine liegende Karte.Zusammengezählt ergibt das: (6 + 6) + (2 + 2) + (1 + 1) = 18 Karten.Zweite Strategie - Dreiecksformen zählen:- Es gibt insgesamt 3 Dreiecksformen. Jede größere Dreiecksform besteht aus 3 kleineren Dreiecksformen.- Die größte Dreiecksform (die gesamte Struktur) besteht aus 3 kleineren Dreiecksformen, wobei jede dieser kleineren Formen 3 stehende und 3 liegende Karten benötigt.- Also braucht jede der 3 kleineren Formen 6 Karten, was insgesamt 3 x 6 = 18 Karten ergibt.b. Die Zählstrategien wurden eben beschrieben. Strategie 1: Zählung der Schichten und dann Addition der Karten pro Schicht.Strategie 2: Zählung der Dreiecksuntereinheiten innerhalb der Gesamtstruktur und Multiplikation mit der Anzahl der Karten, die für ein kleines Dreieck benötigt werden.c. Um die Anzahl der Karten als Term für ein n-stöckiges Kartenhaus darzustellen, müssen wir zunächst ein Muster erkennen. Wir können sehen, dass jeder neue Stock des Kartenhauses eines weniger Dreieck an der Basis hat als der Stock darunter. Für ein dreistöckiges Haus hat die Basis 3 Dreiecksformen, ein viertstöckiges Haus würde 4 Dreiecksformen an der Basis haben und so weiter.Der Term für die Anzahl der Karten in einem n-stöckigen Haus würde so aussehen:Anzahl der Karten = 3 + 4 + 5 + ... + (n + 2), wobei n die Anzahl der Stöcke ist (für ein dreistöckiges Haus ist n = 3).Das ist eine arithmetische Reihe, wo das erste Glied a_1 = 3 und das n-te Glied a_n = n + 2 ist.Um die Summe S_n dieser Reihe zu finden, können wir die Formel für die Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Reihe nutzen:S_n = n/2 * (a_1 + a_n)Einsetzen der Werte für ein n-stöckiges Haus ergibt:S_n = n/2 * (3 + (n + 2))Wir multiplizieren diese Summe mit der Anzahl der Karten pro Dreiecksform, welche 6 ist:Anzahl der Karten = 6 * n/2 * (3 + (n + 2))Vereinfachung führt zu:Anzahl der Karten = 3n * (n + 5) / 2Das ist der gesuchte Term für die Anzahl der Karten in einem n-stöckigen Kartenhaus.
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