Question - Counting Cards in a Multi-Level Card House
Solution:
a. Um die Anzahl der Karten in diesem dreistöckigen Kartenhaus zu bestimmen, können wir verschiedene Zählstrategien anwenden. Eine Möglichkeit besteht darin, die Anzahl der Karten in jeder Ebene zu zählen und dann diese zu addieren. Für die oberste Ebene haben wir 2 Dreiecke, was 6 Karten bedeutet (jedes Dreieck besteht aus 3 Karten). Für die zweite Ebene haben wir 3 Dreiecke, was 9 Karten entspricht. Für die dritte Ebene haben wir 4 Dreiecke, was 12 Karten entspricht. Wenn wir all diese zusammenzählen erhalten wir 6 + 9 + 12 = 27 Karten. Eine andere Zählstrategie wäre, die Anzahl der Karten basierend auf den sichtbaren und den verborgenen Karten in jedem Dreieck zu betrachten. Jedes sichtbare Dreieck besteht aus 3 sichtbaren und 3 verborgenen Karten. Da das oberste Dreieck vollständig sichtbar ist, müssen wir keine verborgenen Karten hinzufügen. Für die zweite und dritte Ebene gibt es Karten, die sich überlappen und somit verborgen sind. Jedoch haben wir bereits die verborgenen Karten der Dreiecke in den oberen Ebenen gezählt, als wir die sichtbaren Dreiecke der darunterliegenden Ebene gezählt haben. Deshalb zählen wir hier nur die sichtbaren Karten. In der zweiten Ebene haben wir 3 Dreiecke mit jeweils 3 Karten (9 sichtbare Karten). In der dritten Ebene sind es 4 Dreiecke mit ebenfalls jeweils 3 Karten (12 sichtbare Karten). Addiert man nun die sichtbaren Karten aller Ebenen zusammen, kommt man erneut auf 27 Karten.b. Die zwei beschriebenen Zählstrategien sind also:1. Zählen der Dreiecke auf jeder Ebene und Multiplizieren mit der Anzahl der Karten pro Dreieck (3), dann Addition der Ergebnisse.2. Trennung der Zählung in sichtbare und verborgene Karten, mit der Berücksichtigung, dass die Karten überlappen und deshalb einige Karten nicht doppelt gezählt werden sollten.c. Für ein n-stöckiges Kartenhaus können wir die Anzahl der Karten als Term ausdrücken, indem wir die Muster erkennen, die wir in den vorherigen Schritten entdeckt haben. Die Anzahl der Karten in jedem Stockwerk entspricht dreimal der Anzahl der Stockwerke. In der ersten Ebene haben wir 2 Dreiecke (6 Karten), in der zweiten Ebene 3 Dreiecke (9 Karten), in der dritten Ebene 4 Dreiecke (12 Karten) und so weiter. Die Anzahl der Dreiecke in jeder Ebene entspricht dem Stockwerk n plus 1. Also kann der Term, um die Gesamtzahl der Karten in einem n-stöckigen Kartenhaus zu berechnen, wie folgt geschrieben werden:Anzahl der Karten = 3 * (2 + 3 + 4 + ... + (n + 1))Um diese Summe einfacher zu berechnen, können wir die Summenformel der arithmetischen Reihe nutzen:Summe der ersten n natürlichen Zahlen = n * (n + 1) / 2Da unsere Reihe bei 2 beginnt und bis n+1 geht, müssen wir die Reihe von 1 bis n+1 berechnen und dann die erste Zahl (1) davon abziehen:Anzahl der Karten = 3 * ([n+1] * [(n+1) + 1] / 2 - 1) = 3 * ([n+1] * [n+2] / 2 - 1)= (3n^2 + 9n)/2Das ist der Term, der die Anzahl der Karten in einem n-stöckigen Kartenhaus repräsentiert.
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