Question - Combinatorics and Drawer Painting Possibilities
Solution:
Die Aufgabe beschäftigt sich mit Kombinatorik und den verschiedenen Möglichkeiten, die Schubladen einer Kommode zu bemalen, wenn fünf verschiedene Farben zur Verfügung stehen. Hier sind die Lösungen für jede Teilaufgabe:a) Wenn alle Kombinationen erlaubt sind und jede Schublade jeweils in einer der fünf Farben gestrichen werden kann, einschließlich der Möglichkeit, jede Schublade in derselben Farbe zu streichen, haben wir eine Situation, in der für jede der drei Schubladen fünf Möglichkeiten bestehen. Daraus ergibt sich:$$5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$$ Designs.b) Wenn drei verschiedene Farben verwendet werden sollen, betrachten wir Kombinationen ohne Wiederholung. Wir müssen also eine Auswahl von drei Farben aus fünf treffen und die Reihenfolge, in der sie auf die Schubladen aufgetragen werden, berücksichtigen (was dies zu einer Permutation macht):$$P(5,3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 5 \times 4 \times 3 = 60$$ Designs.c) Wenn höchstens zwei Farben gleich sein sollen, gibt es zwei Situationen zu berücksichtigen. Erstens kann genau eine Farbe doppelt vorkommen (zwei Schubladen dieselbe Farbe, die dritte eine andere), und zweitens können alle drei Schubladen verschiedene Farben haben (die bereits unter b) berechnete Anzahl von Möglichkeiten).Für zwei Schubladen dieselbe Farbe und die dritte eine andere beträgt die Anzahl der Designs:$$5 \text{ Möglichkeiten für die doppelte Farbe} \times 4 \text{ Möglichkeiten für die andere Farbe} \times \frac{3!}{2!} \text{ Möglichkeiten, die Farben anzuordnen}$$Das ergibt:$$5 \times 4 \times 3 = 60$$ Designs für die erste Situation.Man muss jedoch die Designs von Teil b) noch hinzufügen, um die Gesamtzahl der möglichen Designs zu erhalten, wenn höchstens zwei Farben gleich sein sollen:$$60 + 60 = 120$$ Designs.d) Wenn genau zwei Farben verwendet werden sollen, bedeutet dies, dass zwei Schubladen die gleiche Farbe haben und die dritte eine andere Farbe hat. Wir wählen eine Farbe für die zwei Schubladen und eine zweite Farbe für die dritte Schublade. Dabei gibt es keine Reihenfolge zu beachten, da zwei Schubladen die gleiche Farbe haben:$$5 \text{ Möglichkeiten für die doppelte Farbe} \times 4 \text{ Möglichkeiten für die andere Farbe} = 20$$ Designs.Beachte, dass wir die 3! nicht durch 2! dividieren, wie bei Teil c), da es hier keine Rolle spielt, in welcher Reihenfolge die Farben aufgetragen werden – zwei sind gleich und eine ist anders.
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